場合の数の問題です。

$1$ つ目

記名するということは、「誰が」「どの候補者に」票を入れるかが焦点になるので「田中さんが候補者 $\mathrm{A}$ に投票する」のと「佐藤さんが候補者 $\mathrm{A}$ に投票する」のでは別もの扱い。

よって、$7$ 人それぞれが候補者 $3$ 人を選ぶので $3^7$ 通り。

$2$ つ目。

無記名ということは、候補者 $3$ 人にいくつ表が集まるかだけが焦点になるので「田中さんが候補者 $\mathrm{A}$ に投票する」のと「佐藤さんが候補者 $\mathrm{A}$ に投票する」のは同じこと。

よって、〇を票と見立てて、|を候補者間の仕切りとすれば〇を $7$ 個、|を $2$ つの並び替えと考えることができる。