解決済み

(a+b)(b+c)(c+a)+abcが(a+b+c)(ab+bc+ca)と因数分解できる手順を教えてください!問題集に途中式が載っていなくて困っています💦

ベストアンサー

ベストアンサー

まず aa について整理していきましょう。

(ab)(bc)(ca)abc=(bc)(ab)(a+c)+bca=(bc){a2+(b+c)a+bc}+bca=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)+bca=(b+c)a2+(b2+3bc+c2)a+bc(b+c)\begin{aligned}&(a+b)(b+c)(c+a)+abc \\&=(b+c)(a+b)(a+c)+bca \\&=(b+c)\left\{a^2+(b+c)a + bc\right\}+bca \\&=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)+bca \\&=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)\end{aligned}


aa の係数に着目してたすき掛けをします。

aa の二次方程式と考えてください。


ここからは画像も見てください。

(b+c)(b+c)+1bc=b2+3bc+c2(b+c)(b+c) + 1 \cdot bc = b^2+3bc+c^2

であることに注目すると

(b+c)a2+(b2+3bc+c2)a+bc(b+c)={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}=(a+b+c)(ab+bc+ca)\begin{aligned}& (b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c) \\&= \left\{ a + (b + c) \right\} \left\{ (b+c)a + bc \right\} \\&= (a + b + c)(ab + bc + ca)\end{aligned}

となります。

以上から

(ab)(bc)(ca)abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)

と因数分解できることがわかります。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

よくわかりました。ありがとうございます。

そのほかの回答(0件)

関連する質問

もっとみる