(a+b)(b+c)(c+a)+abcが(a+b+c)(ab+bc+ca)と因数分解できる手順を教えてください！問題集に途中式が載っていなくて困っています💦

まず $a$ について整理していきましょう。

$$\begin{aligned}&(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc \\&=(b＋c)(a＋b)(a+c)+bca \\&=(b＋c)\left\{a^2+(b+c)a + bc\right\}+bca \\&=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)+bca \\&=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)\end{aligned}$$

$a$ の係数に着目してたすき掛けをします。

$a$ の二次方程式と考えてください。

ここからは画像も見てください。

$$(b+c)(b+c) + 1 \cdot bc = b^2+3bc+c^2$$

であることに注目すると

$$\begin{aligned}& (b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c) \\&= \left\{ a + (b + c) \right\} \left\{ (b+c)a + bc \right\} \\&= (a + b + c)(ab + bc + ca)\end{aligned}$$

となります。

以上から

$$(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)$$

と因数分解できることがわかります。