定積分における変数はなんの意味も持たない、とはどういう意味でしょうか。

ダミー変数やダミーインデックスと呼ばれるものですね。

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(y)dy$$

は成立することが容易にわかります。

この式における $x$ や $y$ は、この関数を $x$ について(または $y$ について)積分するという形で表記されており、積分してしまえばその違いはありません。

このことを「意味をもたない」と表現しているのだと思います。

ほかにも$$\sum_{k=1}^n f(k)=\sum_{l=1}^n f(l)$$

となるので、$k,l$ はダミー変数です。

このように、定積分や和の縮約記号でよく見られます。