平面上にある三角形があって、その内部に点Pをおくと、各点からPにひいた直線は写真のように比が綺麗であった。この時、Pは重心か。重心であれば証明をせよ。

$\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA$ の面積はすべて $\triangle ABC$ の面積の $1 - x$ 倍に等しい。つまり互いに等しい面積をもつから，$P$ から $BC,CA,AB$ へ下ろした垂線の足を $H_A, H_B, H_C$ とすれば，$|PH_A| : |PH_B| : |PH_C| = |BC|^{-1} : |CA|^{-1} : |AB|^{-1}$。

　$|PH_A| : |PH_B|$ を一定の比 $|BC|^{-1} : |CA|^{-1}$ に保つ内点 $P$ の軌跡は直線であり，同様に $|PH_A| : |PH_C|$ を一定の比 $|BC|^{-1} : |AB|^{-1}$ に保つ軌跡も直線である。$P$ はこれらの直線の交点だから，一意的に存在する。

　重心は $P$ と同じ特徴をもつ点だから，一意性から，$P$ は重心である。■

「$|PH_A| : |PH_B|$ を一定の比 $|BC|^{-1} : |CA|^{-1}$ に保つ $P$ の軌跡は直線」の部分がもしかしたら証明が必要かもしれませんが，大体はこれでいいと思います。