高校数学でわからない問題です。この問題の(3)で(1と2は無視で構いません。)最初帰納法と(1)の利用でいこうと思って試行錯誤しましたがうまくいけませんでした。どうにか帰納法で押し込むことは可能でしょうか。ご検討よろしくお願いいたします。

帰納法による回答です。

$P(n):0<α<βならば、(p_1^α+p_2^α+\cdots+p_n^α)^{\frac{1}{α}}>(p_1^β+p_2^β+\cdots+p_n^β)^{\frac{1}{β}}$

$P(2)$は割愛。($(1)$の関数から)

$P(n)の成立を仮定すると、P(n+1)について$

$(p_1^α+p_2^α+\cdots+p_n^α+p_{n+1}^α)^{\frac{1}{α}}$

$=(((p_1^α+p_2^α)^{\frac{1}{α}})^α+\cdots+p_n^α+p_{n+1}^α)^{\frac{1}{α}}$

$>(((p_1^β+p_2^β)^{\frac{1}{β}})^α+\cdots+p_n^α+p_{n+1}^α)^{\frac{1}{α}}$　$∵P(1)$

$>(((p_1^β+p_2^β)^{\frac{1}{β}})^β+\cdots+p_n^β+p_{n+1}^β)^{\frac{1}{β}}$　$∵P(n)$

$=(p_1^β+p_2^β+\cdots+p_n^β+p_{n+1}^β)^{\frac{1}{β}}$

よって、$P(2)かつP(n)⇒P(n+1)$が真であるから、数学的帰納法により$2$以上の任意の自然数$n$について、P(n)が正しいことが言える。

こんな感じでいかがですか？