高校数学のわからない問題があります。

書き直し。

とりあえずごり押しでやってみた。

$$\begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{2024}\sin(kx)\right)^2&=\sum_{k=1}^{2024}\sin^2(kx)+\sum_{\begin{aligned}i,j&\in[1,2024]\\i&<j\end{aligned}}2\sin(ix)\sin(jx)\end{align*}$$

と分解出来て

$$2\sin(ix)\sin(jx)=\cos(j-i)x-\cos(j+i)x$$

である。任意の整数$m$について

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx=\left[\dfrac{1}{m}\sin(mx)\right]_{-\pi}^{\pi}=0$$

より

$$\int_{-\pi}^{\pi}2\sin(ix)\sin(jx)dx=0$$

また

$$\begin{align*}\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(kx)dx&=\int_{-\pi}^{\pi}\left(\dfrac{1-\cos(2k)x}{2}\right)dx\\&=\left[\dfrac{1}{2}x\right]_{-\pi}^{\pi}\\&=\pi\end{align*}$$

以上より

$$\text{(与式)}=\sum_{k=1}^{2024}\pi=2024\pi$$

書きながら解いてるから、間違ってたらごめんね。