写真の問題の赤線部についてですが、

問題に「平均値の定理を用いて」とありますね。

よって、平均値の定理の左辺 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ に対応するのが中央の $\dfrac{\log b-\log a}{b-a}$ だと読み取れますね。そして、$a\lt c\lt b$を満たす$c$が存在します。

関数に注目すれば$f(x)=\log x$なので$f'(x)=\dfrac{1}{x}$です。

つまり、ある$c\ (a\lt c\lt b)$について

$$\dfrac{\log b-\log a}{b-a}=f'(c)=\dfrac{1}{c}$$

が成り立ちます。

さらに$a\lt c\lt b$に注目すれば、逆数をとることで

$$\dfrac{1}{b}\lt\dfrac{1}{c}\lt\dfrac{1}{a}$$

が言えるので、結論として

$$\dfrac{1}{b}\lt\dfrac{\log b-\log a}{b-a}\lt\dfrac{1}{a}$$

が示されます。