関数$f(x)$が下の3個の条件条件を満たすとき、$f(x)$を求められる方はいらっしゃいますか？

下二つの条件を合成して、$f'(x)-f''(x)=0を考え、(y=f(x)にしておきす)$

$$\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{d^2y}{dx^2}=0　となり、xで積分$$

$$よって、　　y-\dfrac{dy}{dx}=c_1　ここから変数を分離して$$

$また、y=c_1は条件を満たさないので$

$$y≠c_1のとき　\int dx=\int \dfrac{1}{y-c_1} dy になりますね$$

$$整理してx+c_2=\log{|y-c_1|}と書けるので、最終的に　y=e^c_2 e^x+c_1$$

二つ目の条件から、

$$e^c_2 e^x+c_1=(e^c_2 e^x+c_1)'　よってc_1=0と分かります。$$

さらに、一つ目の条件から、

$$f(0)=e^c_2 e^x=2　故に、 c_2=2$$

以上から、求める関数は、

$$f(x)=2e^x$$

３つ目の条件をいかに乗り越えるかだと思いました。この解き方だと、すべての条件を汲めているので大丈夫かと、

ーもし不備などがあればなんなりと教えてくださいー