• 解決済み

    @Arsenic

    2023/8/15 22:22

    1 回答

    関数f(x)f(x)が下の3個の条件条件を満たすとき、f(x)f(x)を求められる方はいらっしゃいますか？


    f(0)=2f(0)=2

    f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)

    f′′(x)=f(x)f''(x)=f(x)

    補足

    条件条件は誤植です

    関数f(x)f(x)が下の３個の「条件条件」

    　　　　　　　　　　　→条件

    　　　　　　　　　　　　　　です。

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    @Enigmathematics

    2023/8/16 3:01

    下二つの条件を合成して、f′(x)−f′′(x)=0を考え、(y=f(x)にしておきす)f'(x)-f''(x)=0を考え、(y=f(x)にしておきす)

    dydx−d2ydx2=0　となり、xで積分\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{d^2y}{dx^2}=0　となり、xで積分

    よって、　　y−dydx=c1　ここから変数を分離してよって、　　y-\dfrac{dy}{dx}=c_1　ここから変数を分離して

    また、y=c1は条件を満たさないのでまた、y=c_1は条件を満たさないので

    y≠c1のとき　∫dx=∫1y−c1dyになりますねy≠c_1のとき　\int dx=\int \dfrac{1}{y-c_1} dy になりますね

    整理してx+c2=log⁡∣y−c1∣と書けるので、最終的に　y=e2cex+c1整理してx+c_2=\log{|y-c_1|}と書けるので、最終的に　y=e^c_2 e^x+c_1

    二つ目の条件から、

    e2cex+c1=(e2cex+c1)′　よってc1=0と分かります。e^c_2 e^x+c_1=(e^c_2 e^x+c_1)'　よってc_1=0と分かります。

    さらに、一つ目の条件から、

    f(0)=e2cex=2　故に、c2=2f(0)=e^c_2 e^x=2　故に、 c_2=2


    以上から、求める関数は、

    f(x)=2exf(x)=2e^x

    ３つ目の条件をいかに乗り越えるかだと思いました。この解き方だと、すべての条件を汲めているので大丈夫かと、


    ーもし不備などがあればなんなりと教えてくださいー

    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    ありがとうございます

    確かに、微分しても関数が変わらないということから、exe^xであるところまでは見抜けましたが、、、(自分)

    とても分かりやすい回答ありがとうございます



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