数学の質問です。

https://manabitimes.jp/math/1221に載って居る定理1の高校生でも理解できる証明はありますか？

因みに、証明も同様と言うのは定理1の証明を連立方程式や行列を使って行えると言うことですか？私にはどのように考えれば良いか全く分からないのですが、、、

$P,Q$の次数が増えたら連立方程式を行列計算しての証明になりますね。

行列説明するの面倒なので(習わないでしょうし)、字数少な目で説明しますね。

$P(x)=P_1x^2+P_2x+P_3, Q(x)=(q_1x+q_2)^2(q_3x+q_4)$とします。

$$\begin{align*}&\phantom{=}\dfrac{A}{q_1x+q_2}+\dfrac{B}{(q_1x+q_2)^2}+\dfrac{C}{q_3x+q_4}\\&=\dfrac{A(q_1x+q_2)(q_3x+q_4)+B(q_3x+q_4)+C(q_1x+q_2)^2}{Q(x)}\\&=\dfrac{(q_1\cdot q_3+q_1^2)\cdot A+q_1^2\cdot C}{Q(x)}x^2\\&\phantom{=}+\dfrac{(q_2\cdot q_3+q_1\cdot q_4)\cdot A+q_3\cdot B+2q_1\cdot q_2\cdot C}{Q(x)}x\\&\phantom{=}+\dfrac{(q_2\cdot q_4\cdot A+q_4\cdot B+q_2^2vC)}{Q(x)}\end{align*}$$

よって連立方程式

$$\left\{\begin{aligned}(q_1\cdot q_3+q_1^2)\cdot A+q_1^2\cdot C&=P_1\\(q_2\cdot q_3+q_1\cdot q_4)\cdot A+q_3\cdot B+2q_1\cdot q_2\cdot C&=P_2\\q_2\cdot q_4\cdot A+q_4\cdot B+q_2^2\cdot C&=P_3\end{aligned}\right.$$

をみたす$A, B, C$が存在すればいいわけです。これは計算で出せますね。

これを一般的にしたのが定理1です。連立方程式は行列で計算できますから、証明も出来るというわけです。

存在する、というのが定理の主張ですから、$A, B, C$を$P_1,\cdots,P_3,q_1\cdots, q_4$を用いて表せれば証明終了、ということです。

あ、ごめんなさい、リロードしていませんでした、、、

読みますね！

まだ読んで居る途中なのですが、1つ、、、

行列説明するの面倒なので(習わないでしょうし)

→実は数Cに行列が復活しました！！！ただ、数学的な表現の工夫と言う単元に載って居て、共通テストでは出ないですし、全員が履修する必要がある訳ではない単元の様なので、実質復活して居ない様なきもするのですが、、、

行列に就いては定義、和、差、実数倍、積などが教科書に載って居ますね、、、因みに、「数学的な表現の工夫」と言う単元には、データの表現方法、離散グラフ、最短経路、一筆書き、離散グラフと行列の絡みなどが載って居ますよ(^_^)/

読みました！

理解出来ました。

ありがとうございます。