(4)の解き方を教えて下さい。

$y$ を $t$ の $2$ 次関数で表すことで、$y=a$ となるような $t$ の値が何個存在するかが分かります。

このとき、$x$ と $t$ の関係を考えることで、どのような $a$ のときにどのような $x$ で $y=a$ となるかを調べるために、グラフを描いています。

具体的には、$a=10$ のとき、$t=2,4$ で $y=10$ となります。これを $t$ から $x$ に戻すことを考えると、$t=2$ は $x$ が $1$ つ、$t=4$ は $x$ が $2$ つ存在することから、合計で $3$ 個の共有点が存在することになります。

$a$ がその他の値をとったときも同様に考えることができます。

そのために、$x$ と $t$ の関係を考えているのです。