この漸化式の線よりしたの部分がわかりません。教えていただきたいです。数列のある程度の理解力はあるつもりです。(たぶん)

お願いします🤲

回答 2件

ベストアンサー

DoubleExpYui 2022/10/1

この問題の場合、漸化式が偶奇で分かれていますよね？

だから、それぞれの場合での一般式を出します。

まずは奇数の場合を求めます。

$a_{2k+1}=a_{2k-1}+2k$ とわかったので、ここで奇数だけを並べた数列を考えてみます。わかりやすく、これを $\{b_n\}$ としましょう。 $n=2k-1$ に注意して、

$\{b_n\}=\{a_{2k-1}\}=\{a_1,a_3,\cdots,a_{2k-1},a_{2k+1},\cdots\}$

さて、 $a_{2k+1}=a_{2k-1}+2k$ でしたので、これを $\{b_n\}$ の式に直すと $b_{n+1}=b_n+2k$

これは何を意味するでしょうか。そうです、階差数列です。

階差数列の一般項は $n\geqq2$ のとき

$b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}2k$

で求められます。つまり、

$b_n=1+2\times\frac{1}{2}(n-1)n$

これを計算して

$b_n=1+n(n-1)=n^2-n+1$

となります。これは $n=1$ のときも成り立ちます。

さて、 $\{b_n\}=\{a_{2k-1}\}$ でしたので、奇数の場合の一般式は

$a_{2n-1}=n^2-n+1$

となります。( $a_{2k-1}$ じゃないのかと言われそうですが、 $n=1,2,\cdots$ と代入すればb_nと一致することは確かめられます。)

次に偶数の場合ですが、これは $a_{2k}=a_{2k-1}+k$ と分かっていますので、

$a_{2n}=a_{2n-1}+n=n^2+1$

です。

あとは $n$ の偶奇でそれぞれの式に代入してあげればいいですね。

hatenaman 2022/10/2

確かに、この方法もありますね。
でも、下線部以下のことで、何を聞いているかによっては、a3-a1とかのところも答えて欲しいとは少し思いました。
DoubleExpYui 2022/10/2

上の説明は、解説を分かりやすく書き直しただけですよ。
階差数列のところと対応しています。
Rarara 2022/10/2

お礼

この解法は結局のところ階差数列を意味していたんですね。議論もあり、とても勉強になりました。お二方とも、ありがとうございました🙌

hatenaman 2022/10/1

解答か少し不親切かもしれない､､､

DoubleExpYui 2022/10/2

なぜ $a_3-a_1=2k$ としているのでしょうか。
これだと $\Sigma　2k$ にはなりませんよ。
hatenaman 2022/10/2

a2k＋1 -a2k-1=2k

よりそう言えます
DoubleExpYui 2022/10/2

書き方が悪かったですね。
$n=1,2,\cdots$ と代入して記述するのなら
$\begin{cases}a_3-a_1=2\\a_5-a_3=4\\\vdots\\a_{2k+1}-a_{2k-1}=2k\end{cases}$
とするべきです。あなたの書き方だと、 $a_n$ の添え字 $n$ に依存することなくすべての場合で $2k$ となるので、総和は $2kn$ です。
ということです。
hatenaman 2022/10/2

なるほど、では何故答えが合っているのか教えて頂けますか
DoubleExpYui 2022/10/2

最初に言いますが、「あなたの書き方が悪い」これがすべてです。

あなたの書き下しですと、
「任意の $n$ に対して
$a_{2n+1}-a_{2n-1}=2k\text{(定数)}$
となる。」
となってしまいます。そうでしょう？だって $n$ がどんな値の時でも右辺は $2k$ になっているのですから。
これだと、適当な定数 $A$ を持ってきて $a_{2n+1}-a_{2n-1}=A$ と置きなおせてしますので、総和は当然
$\sum_{i=1}^{n}\left(a_{2i+1}-a_{2i-1}\right)=An$
となってしまいます。

だから、 $n=1,2,\cdots$ と代入して記述するのなら右辺をきっちり対応させて
$\begin{cases}a_3-a_1=2\\a_5-a_3=4\\\vdots\\a_{2n+1}-a_{2n-1}=2k\end{cases}$
と書かなければいけません。

以上より、「あなたの書き方が悪い」と言っているのです。
ご理解いただけましたか？
hatenaman 2022/10/2

僕もまだ未熟なので、勉強になります。ありがとうございます

この漸化式の線よりしたの部分がわかりません。教えていただきたいです。数列のある程度の理解力はあるつもりです。(たぶん)

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