この漸化式の線よりしたの部分がわかりません。教えていただきたいです。数列のある程度の理解力はあるつもりです。(たぶん)
お願いします🤲

ベストアンサー

この問題の場合、漸化式が偶奇で分かれていますよね?
だから、それぞれの場合での一般式を出します。
まずは奇数の場合を求めます。
とわかったので、ここで奇数だけを並べた数列を考えてみます。わかりやすく、これをとしましょう。に注意して、
さて、でしたので、これをの式に直すと
これは何を意味するでしょうか。そうです、階差数列です。
階差数列の一般項はのとき
で求められます。つまり、
これを計算して
となります。これはのときも成り立ちます。
さて、でしたので、奇数の場合の一般式は
となります。(じゃないのかと言われそうですが、と代入すればb_nと一致することは確かめられます。)
次に偶数の場合ですが、これはと分かっていますので、
です。
あとはの偶奇でそれぞれの式に代入してあげればいいですね。
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そのほかの回答(1件)
解答か少し不親切かもしれない、、、


書き方が悪かったですね。
と代入して記述するのなら
とするべきです。あなたの書き方だと、の添え字に依存することなくすべての場合でとなるので、総和はです。
ということです。
最初に言いますが、「あなたの書き方が悪い」これがすべてです。
あなたの書き下しですと、
「任意のに対して
となる。」
となってしまいます。そうでしょう?だってがどんな値の時でも右辺はになっているのですから。
これだと、適当な定数を持ってきてと置きなおせてしますので、総和は当然
となってしまいます。
だから、と代入して記述するのなら右辺をきっちり対応させて
と書かなければいけません。
以上より、「あなたの書き方が悪い」と言っているのです。
ご理解いただけましたか?
質問者からのお礼コメント
この解法は結局のところ階差数列を意味していたんですね。議論もあり、とても勉強になりました。お二方とも、ありがとうございました🙌