• 解決済み

    @Rarara

    2022/9/30 18:41

    2 回答

    この漸化式の線よりしたの部分がわかりません。教えていただきたいです。数列のある程度の理解力はあるつもりです。(たぶん)

    お願いします🤲

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    ベストアンサー

    @DoubleExpYui

    2022/10/1 20:54

    この問題の場合、漸化式が偶奇で分かれていますよね？

    だから、それぞれの場合での一般式を出します。


    まずは奇数の場合を求めます。

    a2k+1=a2k−1+2ka_{2k+1}=a_{2k-1}+2kとわかったので、ここで奇数だけを並べた数列を考えてみます。わかりやすく、これを{bn}\{b_n\}としましょう。n=2k−1n=2k-1に注意して、

    {bn}={a2k−1}={a1,a3,⋯ ,a2k−1,a2k+1,⋯ }\{b_n\}=\{a_{2k-1}\}=\{a_1,a_3,\cdots,a_{2k-1},a_{2k+1},\cdots\}

    さて、a2k+1=a2k−1+2ka_{2k+1}=a_{2k-1}+2kでしたので、これを{bn}\{b_n\}の式に直すとbn+1=bn+2kb_{n+1}=b_n+2k

    これは何を意味するでしょうか。そうです、階差数列です。


    階差数列の一般項はn≧2n\geqq2のとき

    bn=b1+∑k=1n−12kb_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}2k

    で求められます。つまり、

    bn=1+2×12(n−1)nb_n=1+2\times\frac{1}{2}(n-1)n

    これを計算して

    bn=1+n(n−1)=n2−n+1b_n=1+n(n-1)=n^2-n+1

    となります。これはn=1n=1のときも成り立ちます。

    さて、{bn}={a2k−1}\{b_n\}=\{a_{2k-1}\}でしたので、奇数の場合の一般式は

    a2n−1=n2−n+1a_{2n-1}=n^2-n+1

    となります。(a2k−1a_{2k-1}じゃないのかと言われそうですが、n=1,2,⋯n=1,2,\cdotsと代入すればb_nと一致することは確かめられます。)


    次に偶数の場合ですが、これはa2k=a2k−1+ka_{2k}=a_{2k-1}+kと分かっていますので、

    a2n=a2n−1+n=n2+1a_{2n}=a_{2n-1}+n=n^2+1


    です。

    あとはnnの偶奇でそれぞれの式に代入してあげればいいですね。



    返信(2件)

    @hatenaman

    2022/10/2 2:25

    確かに、この方法もありますね。

    でも、下線部以下のことで、何を聞いているかによっては、a3-a1とかのところも答えて欲しいとは少し思いました。

    @DoubleExpYui

    2022/10/2 9:30

    上の説明は、解説を分かりやすく書き直しただけですよ。

    階差数列のところと対応しています。

    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    この解法は結局のところ階差数列を意味していたんですね。議論もあり、とても勉強になりました。お二方とも、ありがとうございました🙌

    そのほかの回答（1件）

    @hatenaman

    2022/10/1 10:54

    解答か少し不親切かもしれない､､､

    返信(6件)

    @DoubleExpYui

    2022/10/2 9:35

    なぜa3−a1=2ka_3-a_1=2kとしているのでしょうか。

    これだとΣ　2k\Sigma　2kにはなりませんよ。

    @hatenaman

    2022/10/2 9:39

    a2k＋1 -a2k-1=2k


    よりそう言えます

    @DoubleExpYui

    2022/10/2 9:53

    書き方が悪かったですね。

    n=1,2,⋯n=1,2,\cdotsと代入して記述するのなら

    {a3−a1=2a5−a3=4⋮a2k+1−a2k−1=2k\begin{cases}a_3-a_1=2\\a_5-a_3=4\\\vdots\\a_{2k+1}-a_{2k-1}=2k\end{cases}

    とするべきです。あなたの書き方だと、ana_nの添え字nnに依存することなくすべての場合で2k2kとなるので、総和は2kn2knです。

    ということです。


    @hatenaman

    2022/10/2 9:57

    なるほど、では何故答えが合っているのか教えて頂けますか

    @DoubleExpYui

    2022/10/2 10:45

    最初に言いますが、「あなたの書き方が悪い」これがすべてです。


    あなたの書き下しですと、

    「任意のnnに対して

    a2n+1−a2n−1=2k(定数)a_{2n+1}-a_{2n-1}=2k\text{(定数)}

    となる。」

    となってしまいます。そうでしょう？だってnnがどんな値の時でも右辺は2k2kになっているのですから。

    これだと、適当な定数AAを持ってきてa2n+1−a2n−1=Aa_{2n+1}-a_{2n-1}=Aと置きなおせてしますので、総和は当然

    ∑i=1n(a2i+1−a2i−1)=An\sum_{i=1}^{n}\left(a_{2i+1}-a_{2i-1}\right)=An

    となってしまいます。


    だから、n=1,2,⋯n=1,2,\cdotsと代入して記述するのなら右辺をきっちり対応させて

    {a3−a1=2a5−a3=4⋮a2n+1−a2n−1=2k\begin{cases}a_3-a_1=2\\a_5-a_3=4\\\vdots\\a_{2n+1}-a_{2n-1}=2k\end{cases}

    と書かなければいけません。


    以上より、「あなたの書き方が悪い」と言っているのです。

    ご理解いただけましたか？

    @hatenaman

    2022/10/2 10:49

    僕もまだ未熟なので、勉強になります。ありがとうございます

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