赤で囲ったところはx→1+0 じゃなくていいんですか？

あなたの言う通り、$x \to 1+0$が正しいです。

この問題では前提として$x>1$となっているため省略したのでしょうが、かなり危ういと思います。なぜなら$g(x)$が$x=0$で連続ではなく、$x \to 1+0$と$x \to 1−0$で値が変わるため、赤で囲われた等式が成り立つと言えないからです。減点される恐れがあります。

私だったら$x \to 1+0$と書きます。