導体棒と誘導起電力

磁場中で運動する導体には一般に誘導起電力が生じます。誘導起電力とは，電荷に対して仕事をし，電荷を偏らせる力のことです。 一般に，磁場中で運動する導体中の電荷はローレンツ力を受けます。その結果，電荷に対して仕事がなされ，電荷分布が偏ることになります。

ローレンツ力については，以下の記事を参照してください。

電場・磁場・電荷密度・電流密度｜電磁気学における基本的な物理量

これから，導体棒中に生じる誘導起電力の向きと，大きさを導出します。上の図を見てください。今，図のように，磁場中で運動する導体を考えます。磁場の向きは青線で，速度の向きはグレーの線で表されています。この時，導体中の正電荷 $q$ は， $$q\boldsymbol{v\times B}$$ のローレンツ力を受けます。正電荷は導体中に束縛されている(導体の外に出ることはない)ので，結局正電荷は導体と平行な成分のローレンツ力を受けて運動することになります。

導体棒の長さを $l$ とすると，この時正電荷は単位正電荷あたり， $$l(\boldsymbol{v\times B})_{水平}$$ の仕事をされることになります。

十分時間が経って，電荷が偏ったとき，導体棒中に電位差が生じています。ローレンツ力とのつりあいを考えると，電位差 $V$ は， $$V-l(\boldsymbol{v\times B})_{\text{水平}}=0\\ \therefore V=l(\boldsymbol{v\times B})_{\text{水平}}$$ となることがわかります。

回路に電流が流れている状態などを考える場合，電荷の移動が完了した状態は存在しません。しかし，電荷は同様のローレンツ力を受けるので，結局 $V=l(\boldsymbol{v\times B})_{\text{水平}}$ の電位差があると考えて計算して良いことになります。

特に導体棒と速度．磁場がそれぞれ直行している場合，

となります。大学入試などの問題では，このケースが多く見られます。

キルヒホッフの法則については，以下の記事を参照してください。

キルヒホッフの法則の解説と例題

(4)の別解〜微分方程式〜

前問において，回路方程式と運動方程式から，$I$ を消去してみます。すると， $$m\dot v=-\dfrac{b^2l^2}{R}\left(v-\dfrac{V}{Bl}\right)$$ となります。この微分方程式は変数分離法で解くことができて， $$v=\exp\left(-\dfrac{B^2l^2}{mR}t\right)+\dfrac{V}{Bl}$$ となります。ここで $t\to\infty$ とすると，$v\to\dfrac{V}{Bl}$ となることがわかります。導体棒の問題では，この形の微分方程式がよく出てきます。

変数分離法による微分方程式の解放については，以下の式を参照してください。

変数分離形の微分方程式の解法と例題