ベクトルとしての力の合成・分解

力はベクトルですので，ベクトルの足し算は数学で習うベクトルの加法に従います。数式上は， $$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$$

と表してしまえばそれで終わりですが，図で描こうとすると以下のようになります。

2つのベクトルの和について考えます。2つのベクトルが平行四辺形の隣合う2辺に重なるように平行移動します。平行四辺形の対角線の部分が合力となります。以下の図を参考にしてください。

2つ以上の力の加算をすることを力の合成と言います。

力のつりあい

ある物体に働く，全ての力の合力が $\boldsymbol{0}$（←これはゼロベクトルです）のとき，力がつりあっていると表現します。力がつり合っている時，質点は，止まっているならば止まり続け，動いているならばその速度を維持し続けます。これを慣性の法則（これについては別の記事で解説します）と言います。

ちなみに，大きさを持つ物体に関しては，力がつり合っているだけでは静止するとは限りません。「力のモーメント」というものも関連してきます。これについても別の記事で解説します。

この図より， $$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A'} + \boldsymbol{B'}$$ が成立します。このように力の合成をすると $\boldsymbol{C}$ になるような力の組み合わせは無限に存在します。

このような組み合わせのうちどれでも良いので，2つ以上の力の合成として，1つの力を分散させて表すことを力の分解といいます。分解後の力を分力と呼びます。

力の分解の練習問題

練習として，$xy$ 平面上のあるベクトル $\boldsymbol{F}$ に対して，力の分解の求め方の一例を示します。

$x$ 軸の＋側とベクトルのなす角は $\theta$ であるとします。このとき，$\boldsymbol{F}$ は以下の図のように分解することができます。

図より， $$\begin{cases} \|\boldsymbol{F}_x\| = \|\boldsymbol{F}\| \cos \theta\\ \|\boldsymbol{F}_y\| = \|\boldsymbol{F}\| \sin \theta \end{cases}$$

長さが $1$ で，$+x$ 方向，$+y$ 方向を向くベクトル（つまり単位ベクトル）$\boldsymbol{e_x}, \boldsymbol{e_y}$ を用いれば， $$\begin{cases} \boldsymbol{F}_x = \|\boldsymbol{F}\| \cos \theta \boldsymbol{e_x}\\ \boldsymbol{F}_y = \|\boldsymbol{F}\| \sin \theta \boldsymbol{e_y}\\ \end{cases}$$ とかけて， $$\begin{aligned} \boldsymbol{F} &= \boldsymbol{F_x} + \boldsymbol{F_y}\\ &= \|\boldsymbol{F}\| \cos \theta \boldsymbol{e_x} + \|\boldsymbol{F}\| \sin \theta \boldsymbol{e_y} \end{aligned}$$ と書くことができます。