万有引力の法則と万有引力による位置エネルギー

万有引力の表式と位置エネルギーを合わせて，万有引力の $\boldsymbol{r_0}$ を基準とした位置エネルギー $U_G(\boldsymbol{r})$ は $$U_G(\boldsymbol{r})=-\boldsymbol{\int^r_{r_0}}-G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\dfrac{\boldsymbol{r}}{r}\cdot d\boldsymbol{r'}$$ である。ここで $\dfrac{\boldsymbol{r}}{r}$ は原点から質点の方向への単位ベクトルなので， $$\dfrac{\boldsymbol{r'}}{r'}\cdot d\boldsymbol{r'}=dr' (dr'はスカラー量)$$ となるので， $$\begin{aligned} U_G(\boldsymbol{r'})&=-\boldsymbol{\int^r_{r_0}}-G\dfrac{m_1m_2}{r'^2}\dfrac{\boldsymbol{r'}}{r'}\cdot d\boldsymbol{r'}\\ &=\boldsymbol{\int^r_{r_0}}G\dfrac{m_1m_2}{r'^2}dr'\\ &=\left[-G\dfrac{m_1m_2}{r'}\right]^r_{r_0}\\ &=-G\dfrac{m_1m_2}{r}+G\dfrac{m_1m_2}{r_0} \end{aligned}$$ を得る。

ロケットが打ち上げられた直後，ロケットの持つ力学的エネルギーは， $$E=\dfrac{1}{2}mv_0^2-G\dfrac{Mm}{R}$$ ロケットが静止した時，ロケットの力学的エネルギーは $$E'=-G\dfrac{Mm}{2R}$$ 力学的エネルギーが保存するので， $$\dfrac{1}{2}mv_0^2-G\dfrac{Mm}{R}=-G\dfrac{Mm}{2R}$$ これを解いて， $$v_0=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$$ を得る。

$A$ が $B$ から受ける重力を $\boldsymbol{F_B}$，$A$ が $C$ から受ける重力を $\boldsymbol{F_C}$ とする。力の重ね合わせの原理より，$A$ の受ける全体の重力 $\boldsymbol{F_A}$ は， $$\boldsymbol{F_A}=\boldsymbol{F_B}+\boldsymbol{F_C}$$ となる。よって $A$ の重力の位置エネルギーは， $$\begin{aligned} U_A &=-\boldsymbol{\int^{r_A}_{r_0}(F_B+F_C)}\cdot d\boldsymbol{r'} \\ &=-\boldsymbol{\int^{r_A}_{r_0}F_B}\cdot d\boldsymbol{r'}-\boldsymbol{\int^{r_A}_{r_0}F_C}\cdot d\boldsymbol{r'} \\ &=U_B+U_C \end{aligned}$$ となるので示された。