張力の性質と種々の例題

簡単のため，糸が直線状にピンと伸びている場合を考えます。糸は十分軽いとみなして良いとします。糸に沿った$x$軸を考えます。点 $x$ で糸が $x$ 軸正方向に引っ張る張力を $T(x)$ とおきます。微小領域 $[x，x+ \Delta x]$ にある糸について，力のつり合いが成り立つので

$$0 = T(x+ \Delta x) - T(x)$$

$$\therefore \dfrac{T(x+ \Delta x) - T(x)}{\Delta x} = 0$$

$\Delta x \rightarrow 0$ とすると，微分の定義により

$$\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{T(x+ \Delta x) - T(x)}{\Delta x} = \dfrac{dT(x)}{dx} =0$$

$$\therefore T(x) = \mathrm{const}.$$

滑車を介する本問のように，糸が途中で方向を変える場合にも，張力は糸の至る所で同じです。物体A，Bの変位をそれぞれ $X，x$，張力を $T$ として， 運動方程式を立てます。

$$A:M \ddot X = T ...(1)$$ $$B:m \ddot x =mg - T ... (2)$$

ここで，未知数は $X，x，T$ の3つですから，もう一つ式が必要になります。

そこで，束縛条件に注目しましょう。2物体は張った糸で繋がれていますから，2物体は同じ分だけ移動します。すなわち

$$X =x$$

$$\therefore \ddot X =\ddot x ...(3)$$ です。

(1)+(2)より，

$$M \ddot X + m \ddot x =mg$$ (3)より

$$(M + m) \ddot x = mg$$

$$\therefore \ddot x = \dfrac{m}{M+m} g$$ あとは，初期条件より $x_0=0$，$v_0=0$ として良いので，等加速度運動の公式 (詳しくは：等加速度運動・等加速度直線運動の公式) より，$t$ 秒後の物体A，Bの変位は， $$X = x = \dfrac{1}{2} \dfrac{m}{M+m} g t^2 \space ... \mathrm{Ans.}$$ となります。

(1)糸のおもりに対する張力を $T$，位置 $\theta$ でのおもりの速度を $v$ とすると，半径方向の運動方程式は以下のように書き下せます。

$$m \dfrac{v^2}{l} = mg \cos \theta - T \space ...(2.1)$$

しかし，半径に垂直な方向の運動方程式は，高校物理の範囲では書き下すことができません。Coriolis力などを考慮しなければならないからです。

ここで，運動の方向と張力が直交していることに着目すると，張力による仕事が0になることを導くことができます。これは別の記事で解説します。

これにより，最下点と位置 $\theta$ で力学的エネルギー保存則が成立します。 $$\dfrac{1}{2} m v^2 + mgl(1-\cos \theta) =\dfrac{1}{2} m {v_{0}}^{2} \space ...(2.2)$$ $v \geq 0$なので，これを解いて， $$v = \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2gl(1-\cos \theta )} \space ...(2.3) \space ... \mathrm{Ans.}$$ を得ます。

(2)少し物理的な考察をしてみましょう。おもりが一周するのはどのようなときでしょうか。

まず，頂点で速さが0より大きくなければならないということは分かりますね。力学的エネルギー保存則を考えれば，上に行くほどおもりの速さは減少します。頂点に行くまでに速さが0になってしまえば，その後は重力の影響を受けて，おもりは元来た軌道を引き返してしまいます。つまり頂点に到達するには，おもりはその途中で一度も0にならないことが求められます。逆に，頂点で速さが正の値であれば，その途中で速さは常に正であったことが，力学的エネルギー保存則より保証されます。

では，頂点で速さが正の値になっていれば，必ずおもりは一周するのでしょうか。張力が0，つまり糸が弛んでいる場合はどうでしょう。このとき，おもりは円ではない軌道を描いてしまいますね。つまり，頂点で張力が正の値となることも求められるということになります。

では，解答例に戻りましょう。

頂点でのおもりの速さを $v_1$ とします。 頂点における(2.1)，(2.3)式は，$\theta = \pi$ を代入して， $$m \dfrac{{v_{1}}^{2}}{l} = T + mg \space ...(2.4)$$ $$v_1 = \sqrt{{{v_{0}}^{2} - 4gl}} \space ...(2.5)$$ ここで，おもりが円を一周するためには，先程の物理的考察により，

$$v_1 > 0 \space ...(2.6)$$

$$T > 0 \space ...(2.7)$$

が必要。$v_0 > 0$として良いから，(2.5)，(2.6)式より，

$$v_0 > 2 \sqrt{gl} \space ... (2.8)$$ また，(2.4)，(2.5)，(2.7)式より，

$$T = m (\dfrac{{v_{0}}^{2}}{l} - 5g) > 0$$

$$v_0 > 5 \sqrt{gl} \space ... (2.9)$$

よって，(2.8)，(2.9)式をともに満たす$v_0$の条件として，

$$v_0 > 5 \sqrt{gl} \space ... \mathrm{Ans.}$$ を得ます。これが求める答えとなります。

振り子の位置を $\theta$ で表し，物体の水平方向の変位を$x$で表します。$\theta$ は微小だとして良いので，垂直方向の変位は0として考えて構いません。従って垂直方向の加速度は0になります。運動方程式より

$$水平方向: m \ddot x = -T \sin \theta \sim -T \theta ...(3.1)$$

$$鉛直方向: 0= T \cos \theta - mg \sim T - mg ...(3.2)$$

まず(3.2)式より

$$T = mg$$ また，三角形の辺の長さの関係より

$$x = l \sin \theta \sim l \theta$$

$$\therefore \theta = \dfrac{x}{l} \space ...(3.3)$$ (3.1)，(3.3)式より，

$$m \ddot x = - T \dfrac{x}{l} = - \dfrac{mg}{l} x$$

$$\therefore \ddot x = -\dfrac{g}{l} x ... (3.4)$$

これは「単振動の方程式」と呼ばれる方程式であり，高校物理でも頻出の式となります。詳しくは単振動のまとめを見ていただくことにして，ここでは結果だけを述べることにします。

(3.4)式の解は，

$$x = A \cos (\omega t + \phi)$$ ただし， $$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$$ であり， $$A，\phi \text{は初期条件により定まる定数}$$ として与えられます。この単振り子の周期は，周期の公式 (詳しくは：正弦波の意味，特徴と基本公式) より，

$$T = \dfrac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \space ... \space \mathrm{Ans.}$$ となります。