等加速度運動・等加速度直線運動の公式

加速度が一定の運動のことを等加速度運動といいます。力学で扱える運動のうち，もっとも簡単な運動の1つです。特に，等加速度運動のうち，ある1次元の直線上で限定された運動のことを等加速度直線運動といいます。

等加速度運動は，大学入試の問題としてもよく取り上げられる分野であり，直感的にも数式的にもかなり深く理解しておくことが重要です。公式の導出を知った上で，しっかりと暗記しましょう。

等加速度直線運動における有名な公式を3つ導出します。暗記必須です。

$x$ 軸上での一次元運動を考えます。時刻 $t$ における速度，位置を $v(t), x(t)$ で表すことにします。加速度については一定なので，$a (=$ const.$)$とします。

初期条件として，$v(0) = v_0, x(0) = x_0$ とします。このとき，一般の $v(t), x(t)$ を求めます。ちなみに，速度の初期条件を初速度，位置の初期条件を初期位置などと呼ぶことがあります。

$$\dfrac{dv(t)}{dt} = a (= \text{const.})$$ ですから，両辺を積分して， $$v(t) = at + C$$ ここで $C$ は積分定数です。$v(0) = v_0$ より，$C = v_0$ となって， $$v(t) = at + v_0　\tag{1}$$

さらに， $$\dfrac{dx(t)}{dt} = v(t) = at + v_0$$ より，両辺を積分して， $$x(t) = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0 t + D$$ ここで $D$ は積分定数です。$x(0) = x_0$ より，$C = x_0$ となって， $$x(t) = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0 \tag{2}$$ と求めることができます。

ちなみに，暗記必須とは言いましたが，式 $(1),(2)$ の導出の流れと同様に，問題に合わせて積分をすれば，公式を使わなくても位置や速度を $t$ の関数として表すことができます。ただ，やはりいちいち積分していては計算が間に合いません。諦めて覚えましょう。

最後に，3つめの公式です。速度の定義式 $$\dfrac{dx}{dt} = v$$ より， $$dx = v dt$$ $a$ を両辺にかけると， $$\begin{aligned} adx &= avdt\\ &= vdt \cdot \dfrac{dv}{dt}\\ &= vdv \end{aligned}$$ 両辺を積分して両辺に $2$ をかければ， $$2ax(t) = v(t)^2 + E$$ ここで $E$ は積分定数です。$t = 0$ において $x = x_0, v = v_0$ より， $$E = 2ax_0 - v_0^2$$ よって， $$v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0) \tag{3}$$ が成立します。この式からは $t$ が消えています。この式を利用することで計算が断然早くなるということもよくあるので，覚えておいて損はないです。

加速度がマイナスになっても全く構いません。加速度が $-2 ~ \mathrm{(m/s^2)}$ であれば，$a$ にそれを代入して計算すれば良いだけです。

求めた公式を使うと，$vt$ グラフや$xt$ グラフを図示することができます。

$vt$ グラフは直線になります。図示すると以下の通りです。

$xt$ グラフは二次関数的な形になります。 $$\begin{aligned} x &= \dfrac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0\\ &= \dfrac{1}{2}a\left(t + \dfrac{v_0}{a}\right)^2 + x_0 - \dfrac{v_0^2}{2a} \end{aligned}$$ より， 図示すると以下の通りです。

等加速度直線運動と全く同様に考えれば，一般に3次元空間で等加速度運動する物体の位置や速度を $t$ の関数としてベクトルで表すことができます。

時刻 $t$ における速度，位置を $\boldsymbol{v}(t), \boldsymbol{r}(t)$ で表すことにします。加速度については $\boldsymbol{a} (=$ const.$)$とします。このとき，

$$\begin{cases} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{a} t + \boldsymbol{v_0}\\ \boldsymbol{r} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}t^2 + \boldsymbol{v_0} t + \boldsymbol{r_0} \end{cases}$$

が成立します。練習がてら導出してみてください。