• 解決済み

    @mathiko

    2025/09/11

    1 回答

    ここの極限がわかりません！？

    教えてください。

    1. 高校生
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    3. 数学Ⅲ

    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @Enigmathematics

    2025/09/11

    ひとまず、式の前後関係は見なかった事にして、分からないとおっしゃっている部分だけについてご説明させていただきますね。


    赤枠の部分をよく見てみると、2(1−cos⁡h)2(1-\cos h)という部分があります。これは、半角の公式

    sin⁡2x2=1−cos⁡x2\sin^2 \dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2}

    これをうまく利用していくことで変形を進められます。

    4sin⁡2h2=2(1−cos⁡h)4\sin^2 \dfrac{h}{2}=2(1-\cos h)

    この様に変形することで、

    2(1−cos⁡h)h2=4sin⁡2h2h2=∣2sin⁡h2h∣=∣sin⁡h2h2∣\sqrt{\dfrac{2(1-\cos h)}{h^2}}=\sqrt{\dfrac{4\sin^2 \dfrac{h}{2}}{h^2}}=\left|\dfrac{2\sin \frac{h}{2}}{h}\right|=\left|\dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right|

    こうしてみると、sin⁡x\sin xに関する有名な極限の形がみえてきました、つまり、

    lim⁡h→0∣sin⁡h2h2∣=1\lim_{h \to 0} {\left|\dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right|} = 1


    とできるわけで、のこりはsin⁡α\sin \alphaだけなので、あとはその変形を行い狙った答えがでてきました。またほかに何かあれば、どうぞご連絡ください！


    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    とてもよく理解できました。

    これって常識ですか？

    学び直しをしているのですが全く気付きませんでした。

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