解決済み

数学の大学入試(極限)の問題です。

解き方も答えも全くわからないのでもしよろしければ教えてください

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(ア)

X1X_166 通り、X2X_2X1X_1 以外の 55 通り、X3X_3X1,X2X_1,X_2 以外の 44 通りだから、

6×5×4=1206 \times 5 \times 4=120 通り


(イ)

66 個の整数から 33 個を選べば X1,x2,x3X_1,x_2,x_3 が決まるから、

6C3=20_{6}\mathrm{C}_3=20 通り


(ウ)

X1,X2X_1,X_2 は任意で、X3X_3 が偶数であれば必要十分だから、

6×6×3=1086 \times 6 \times 3=108 通り


(エ)

1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 の中に 33 で割った余りが 0,1,20,1,2 になるものはすべて 22 個ずつある。したがって、どのような X1,X2X_1,X_2 に対しても、X1+X2+X3X_1+X_2+X_333 の倍数となるような X3X_3 の選び方は 22 通りである。

よって、6×6×2=726 \times 6 \times 2=72 通り


(オ)

kk 回目の操作において、XknX_k \leqq n となる確率は 12\dfrac{1}{2} である。

求める確率は nn 回の操作すべてで nn 以下が出る確率だから、(12)n\biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)^n


(カ)

同様にして、kk 回目の操作において、Xk2n1X_k \leqq 2n-1 となる確率は 2n12n\dfrac{2n-1}{2n} である。

求める確率は nn 回の操作すべてで 2n12n-1 以下が出る確率だから、求める確率は (2n12n)n=(112n)n\biggl(\dfrac{2n-1}{2n}\biggr)^n = \biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^n


(キ)

limn(112n)n=limn(112n)2n12=1e\begin{aligned}\lim_{n \to \infty}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^n&=\lim_{n \to \infty}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{2n\cdot \frac{1}{2}} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\end{aligned}


(ク)

2n2n がちょうど 11 回出る確率は、2n2n が出るタイミングが nn 通りあることに注意して、

n×12n×(2n12n)n1=12(112n)n1n \times\dfrac{1}{2n} \times \biggl(\dfrac{2n-1}{2n}\biggr)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1} である。


求めるのは 2n2n00 回または 11 回出る確率であり、この 22 つの事象は互いに排反だから、

(112n)n+12(112n)n1=12(31n)(112n)n1\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^n+\dfrac{1}{2}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\biggl(3-\dfrac{1}{n}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}


(ケ)

limn12(31n)(112n)n1=12(31n)(112n)1(112n)2n12=32e\begin{aligned}\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2}\biggl(3-\dfrac{1}{n}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}&=\dfrac{1}{2}\biggl(3-\dfrac{1}{n}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{-1}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{2n\cdot \frac{1}{2}}\\ &=\dfrac{3}{2\sqrt{e}}\end{aligned}

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