数学の大学入試(極限)の問題です。

(ア)

$X_1$ は $6$ 通り、$X_2$ は $X_1$ 以外の $5$ 通り、$X_3$ は $X_1,X_2$ 以外の $4$ 通りだから、

$6 \times 5 \times 4=120$ 通り

(イ)

$6$ 個の整数から $3$ 個を選べば $X_1,x_2,x_3$ が決まるから、

$_{6}\mathrm{C}_3=20$ 通り

(ウ)

$X_1,X_2$ は任意で、$X_3$ が偶数であれば必要十分だから、

$6 \times 6 \times 3=108$ 通り

(エ)

$1,2,3,4,5,6$ の中に $3$ で割った余りが $0,1,2$ になるものはすべて $2$ 個ずつある。したがって、どのような $X_1,X_2$ に対しても、$X_1+X_2+X_3$ が $3$ の倍数となるような $X_3$ の選び方は $2$ 通りである。

よって、$6 \times 6 \times 2=72$ 通り

(オ)

$k$ 回目の操作において、$X_k \leqq n$ となる確率は $\dfrac{1}{2}$ である。

求める確率は $n$ 回の操作すべてで $n$ 以下が出る確率だから、$\biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)^n$

(カ)

同様にして、$k$ 回目の操作において、$X_k \leqq 2n-1$ となる確率は $\dfrac{2n-1}{2n}$ である。

求める確率は $n$ 回の操作すべてで $2n-1$ 以下が出る確率だから、求める確率は $\biggl(\dfrac{2n-1}{2n}\biggr)^n = \biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^n$

(キ)

$$\begin{aligned}\lim_{n \to \infty}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^n&=\lim_{n \to \infty}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{2n\cdot \frac{1}{2}} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\end{aligned}$$

(ク)

$2n$ がちょうど $1$ 回出る確率は、$2n$ が出るタイミングが $n$ 通りあることに注意して、

$n \times\dfrac{1}{2n} \times \biggl(\dfrac{2n-1}{2n}\biggr)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}$ である。

求めるのは $2n$ が $0$ 回または $1$ 回出る確率であり、この $2$ つの事象は互いに排反だから、

$\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^n+\dfrac{1}{2}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\biggl(3-\dfrac{1}{n}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}$

(ケ)

$$\begin{aligned}\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2}\biggl(3-\dfrac{1}{n}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{n-1}&=\dfrac{1}{2}\biggl(3-\dfrac{1}{n}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{-1}\biggl(1-\dfrac{1}{2n}\biggr)^{2n\cdot \frac{1}{2}}\\ &=\dfrac{3}{2\sqrt{e}}\end{aligned}$$