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高校数学 極限が定数になるような二次関数を求める問題

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ax2+bx+cax^2+bx+cと置いて2つ目の式で因数定理からf(1)=0となりa+b+c=0a+b+c=0となることは分かりましたがそれ以上は分かりません。

教えていただけるととても助かります。

お願いします。🙇‍♀️


ベストアンサー

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f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c とおくと、f(1)=0    a+b+c=0f(1)=0\iff a+b+c=0 であり、

limxf(x)x2+x=limxax2+bx+cx2+x=limxa+bx+cx21+1x=a\begin{aligned}\lim_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x^2+x}&=\lim_{x\to -\infty} \dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+x} \\&=\lim_{x\to -\infty} \dfrac{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}{1+\frac{1}{x}} \\&=a\end{aligned}

より a=3a=3 である。


このとき、c=b3c=-b-3 となって f(x)=3x2+bxb3=(x1)(3x+b+3)f(x)=3x^2+bx-b-3=(x-1)(3x+b+3) だから、

limx1f(x)x2x=limx13x+b+3x=b+6\begin{aligned}\lim_{x\to 1} \dfrac{f(x)}{x^2-x}&=\lim_{x\to 1} \dfrac{3x+b+3}{x} \\&=b+6\end{aligned}

より b=1b=1 である。


よって、求める 22 次関数は f(x)=3x2+x4f(x)=3x^2+x-4 である。



普通に極限を求めていけばよいですね。不定形の解消法は関数が文字を含んでいても同じです。

文字になって分かりにくいときは、簡単な定数で具体化して考え、それを一般化するという思考プロセスを身に付けるとよいと思います。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

大変助かりました🙏

とてもよく理解できました。

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