高校数学 極限が定数になるような二次関数を求める問題

$f(x)=ax^2+bx+c$ とおくと、$f(1)=0\iff a+b+c=0$ であり、

$$\begin{aligned}\lim_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x^2+x}&=\lim_{x\to -\infty} \dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+x} \\&=\lim_{x\to -\infty} \dfrac{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}{1+\frac{1}{x}} \\&=a\end{aligned}$$

より $a=3$ である。

このとき、$c=-b-3$ となって $f(x)=3x^2+bx-b-3=(x-1)(3x+b+3)$ だから、

$$\begin{aligned}\lim_{x\to 1} \dfrac{f(x)}{x^2-x}&=\lim_{x\to 1} \dfrac{3x+b+3}{x} \\&=b+6\end{aligned}$$

より $b=1$ である。

よって、求める $2$ 次関数は $f(x)=3x^2+x-4$ である。

普通に極限を求めていけばよいですね。不定形の解消法は関数が文字を含んでいても同じです。

文字になって分かりにくいときは、簡単な定数で具体化して考え、それを一般化するという思考プロセスを身に付けるとよいと思います。