• 解決済み

    @Arsenic

    2023/12/1 13:15

    1 回答

    特殊関数に精通しておられる方、

    ∑k≥1(−1)k+1ks−1\sum_{k\geq1} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k^{s-1}}で定義される関数の名称を教えてください!

    「なんか似てる関数かも」と思うものでも結構です

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    @ontama_udon

    2023/12/4 21:38

    先に断っておくと関数の名称はわからないです、ごめんなさい。

    ゼータ関数の表現の一つに似てますが、符号が違いますね。


    一個この関数についてちょっと面白そうな事実を発見したので提供します。(知ってたらすいません)


    nを自然数としてnを自然数として

    ∑k≥1(−1)k+1kn=∫01∫01⋯∫01dx1dx2⋯dxn1+x1x2⋯xn\sum_{k \geq 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k^{n}}=\int^{1}_{0}\int^{1}_{0} \cdots \int^{1}_{0}\frac{dx_1dx_2\cdots dx_n}{1+x_1x_2\cdots x_n}

    関数の定義域もかなり狭くなっているのでこの変形にどんな意味があるのかはわかりませんが、一応書いておきました。


    ※極限の処理を甘くしたまま計算しましたが、たぶんおそらく正しい式です。

    補足

    調べたら結構すぐ出てきました。

    ディリクレのηη関数というらしいです。


    ζζ関数の交代級数版ということで名前がありました。

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