この問題がわかりません。回答をなくしてしまったのでどなたかお願いします。

$(1)は不等式を関数としてみてみるといいかと思います。$

$$(1+x)^a≦y(1+x^a)　→\dfrac{(1+x)^a}{(1+x^a)}=y=f(x)$$

上記の関数についてみていきます。

まず概形を知りたいので微分

$$f'(x)=\dfrac{a(1+x)^{a-1}(1+x^a-x^{a-1}-x^a)}{(1+x^a)^2}=\dfrac{a(1+x)^{a-1}(1-x^{a-1})}{(1+x^a)^2}$$

$f'(x)=0のとき、x≧0より、x=1$　

$また,0≦x≦1 で単調増加、1≦x　で単調減少$

$$さらに、　\lim_{x \to ∞} f(x) = 1　もわかります$$

これでグラフの概形が描けるので、下図のようになります。

そしてここから分かるのが、$f(1)で最大値2^{a-1}$をとるということであり、その値こそが$K$の最小値とつながります。$y,(K)=2^{a-1}$であれば、すべての$x,(t)$において目標の不等式が成立すると思います。

よって、

$$(1)　K=2^{a-1}$$

(2)は結果を利用するだけの作業ですね。

被積分関数を例の不等式に入れてみると

$$(1+\sqrt [5]{1+\sin x})^{10}<2^9 (1+(1+\sin x)^2)=2^9(2+2\sin x+\sin^2 x)$$

したがって、これを積分してもこの関係は同じなので、

$$\int_{0}^{\pi} (1+\sqrt [5]{1+\sin x})^{10} dx<\int_{0}^{\pi} 2^9(2+2\sin x+\sin^2 x) dx$$

右辺を求めてあげると、$(右辺)=512(4+2.5\pi)$また、円周率の不等式

$\pi<3.15$も利用し、

$$(与式)<512(4+2.5\pi)<6080$$

したがって、命題は示されました。ぴったしの値で不等式の証明ができました

なにか不備など諸々あればお願いします🙇