以前私が解こうとして分からなかった問題です。

まず、$T \subseteq S$ より $|T| \leqq 6$ である必要があります。

$|T|=k$ として、$S$ に含まれる整数 $1$ から $6$ までのうちの $k$ 個が、$f(x)=x$ を満たす整数の個数になります。

その $k$ 個の整数の選び方が ${}_6\mathrm{C}_k$ 通り存在します。

そのそれぞれの場合について、$T$ に含まれない $6-k$ 個の整数 $x$ に対しても、$f(x) \in T$ を満たさなければなりません。

このとき、各 $x \notin T$ に対して $f(x)$ の選び方は $k$ 通りあるので、$k^{6-k}$ 通りです。

以上から、

$$M= \sum_{k=1}^{6} {}_6\mathrm{C}_k k^{6-k}$$

となります。

$k^{6-k}$ の部分は難しいかもしれないので、簡単な場合で具体的に考えましょう。

$T=\{1,2\}$ とすると、$k=2$ であり、$f(1)=1,f(2)=2$ を満たすことが必要です。

ここで、$x=3,4,5,6$ のそれぞれに対して、$f(x)=1$ または $f(x)=2$ を満たすことが必要であり、そしてこれで十分となります。

したがって $f(x)$ の選び方(値のとり方)は $2^4=16$ 通り存在します。

一般の $k$ の場合でも同様に考えることで、上記の $M$ が計算できます。