下の頻出問題5の解答です

解答は満点だと思います。以下、下線部の疑問に答えていきます。

$a,b$ が正である理由は $C>0$ と述べても良いですし、長方形が存在するから自明としても良いでしょう。

そもそも、第一象限と解答にあるので $a$ も $b$ も正です。

$b^2$ を別の文字で置きなおさなくても解答の平方完成のとおりで成り立っています。

「図より」を書くタイミングが分かりませんが、解答に図は描くと思いますし、「図より」を書かなくても文章だけで十分な解答が書けています。

以下、媒介変数表示を用いた別解の一つを紹介します。

点 $P(a,b)$ に対して、$a=2\cos\theta,b=\sqrt2\sin\theta \quad (0<\theta<\dfrac{\pi}{2})$ とおける。

このとき、$C=ab=2\sqrt2\sin\theta\cos\theta=\sqrt2\sin2\theta$ となる。

したがって、$C$ は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で最大値 $\sqrt2$ をとる。