1/cos(x)の形の定積分がどうしても合わなくて困っています。具体的には

前者の解き方は、

$$\begin{aligned}I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\cos\frac{x}{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos\frac{x}{2}}{1-\sin^2\frac{x}{2}}dx \\&= \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(\dfrac{\cos\frac{x}{2}}{1+\sin{\frac{x}{2}}}+\dfrac{\cos\frac{x}{2}}{1-\sin{\frac{x}{2}}}\Bigr)dx = \biggl[\log\dfrac{1+\sin{\frac{x}{2}}}{1-\sin{\frac{x}{2}}} \biggr]_0^\frac{\pi}{2} \\&= \log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} =2\log(\sqrt2+1)\end{aligned}$$

となります。$t=\sin\frac{x}{2}$ とおいた方が分かりやすいと思います。

後者の解き方は、$t=\tan\frac{x}{4}$ とおくと、

$$\cos\frac{x}{2}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \ , \ dx=\dfrac{4}{1+t^2}dt \ , \ \begin{array}{c|ccc} x&0&\to&\frac{\pi}{2}\\ \hline t&0&\to&\sqrt2-1\end{array}$$

より、

$$\begin{aligned}I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\cos\frac{x}{2}}dx = \int_{0}^{\sqrt2-1}\dfrac{4}{1-t^2}dt \\&= 2 \int_{0}^{\sqrt2-1} \Bigl(\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1-t} \Bigr)dt =\biggl[\log{\dfrac{1+t}{1-t}} \biggr]_0 ^ {\sqrt{2}-1} \\&=2\log{(\sqrt{2}+1)}\end{aligned}$$

となります。

普通の場合と分母が違うため $dx=\dfrac{4}{1+t^2}dt$ であることに要注意です。あとは頑張って計算しましょう。

ワイエルシュトラス置換は大学数学ではたまに出てきますが、高校数学の範囲でこの置換を使わないと解けない問題に遭遇したことはありません(または問題文でこの置換が与えられるかのどちらか)。

前者の方法で解くことを推奨しますが、別の解き方で答えを求めようとする姿勢は素晴らしいと思います。