$$x + y + z = 10,x≥0 y≥0 z≥0$$

ここに示したのは、上記の式を$3次元にプロット$したものです。つまりこの平面上の格子点を求めるという手法でアプローチしてみました、難しく見えますが、上から見てみると階段状に並んでいるのが分かるかと思います。これを利用して導出しました。御覧の図の通り総和の公式から$\dfrac{1}{2}n(n+1)$という形なので答えを出せます。なお、ここでは$0~10$までなので代入する数は$11$です。

よって、$\dfrac{1}{2}11(11+1)=66$となります。またこれを応用することで不等式の場合も解けます。