この問題ってどう解けば良いんでしょうか…？

[2] の方だけ...

[1] で頂点が $(2,a-4)$ と分かったので、グラフが下に凸であることと合わせて$x=2$ で最小値をとることがわかります。

$x$ に $2$ を代入すると、

$$x^2-4x+a=4-8+a=a-4$$

$$(\ (2-2)^2+a-4=a-4\ のほうが簡単かも)$$

最小値が $5$ となる $a$ を求めたいので、

$$a-4=5\ \Leftrightarrow\ a=9$$

よって $a=9$ が求める値になります。