この問題の考え方一つ一つが

「$x,-2x+1$が同じ値となるとき$x$の値はいくつですか」と聞かれたら、

$$x=-2x+1$$

として求めますよね？

この問題も同じように解くのですが、この問題は(数列なので同じ番号で同じ値になるとは限らないことに注意して)二つの数列の添え字を別のものにしなくてはなりません。

そこで$l,m$を使って

$$3l+1=5m+3$$

を満たす$l,m$を求めるのですが、この形式を一般に不定方程式(答がただ一つに定まらない方程式)と言います。

これを解くと、$l,m$ともに一つの変数$k$を使って表せるのですが、この$k$が$l,m$が(数列の添え字なので)自然数であることに注意すれば、$k$も自然数であることが分かります。

よって、数列$\{c_k\}$は

$$a_{(5\cdot1-1)},a_{(5\cdot1-1)},\cdots,a_{(5\cdot k-1)},\cdots$$

となるので、最後の計算のようになります。