解決済み
数学の質問です。
軌跡の問題などで、十分条件の確認をすることがありますが、必要条件を使って、計算をした後で、教科書では「逆に〜」と書いて十分条件の確認を終わらせて居ますが、具体的にはどの様に十分条件の確認をして居るのですか？計算式を逆に辿れれば確認が出来たと言うことですか？
また、十分条件の確認が必要なのは二乗するなどの同値性が崩れる時と言う認識で合って居ますか？
回答宜しくお願いします。
ベストアンサー
与えられた条件 を満たす点 の軌跡が図形 であるとします。
これを証明するためには、
①与えられた条件 を満たす任意の点は、図形 上にある
②(逆に)図形 上にある任意の点は、条件 を満たす
の つが同時に成り立つことを示す必要があり、そしてこれで十分です。
①の議論はいつも通り普通に行うものです。
逆の確認を行う理由は、②を確認するためです。
式がすべて同値変形であれば、求めた図形 から条件 に逆向きにたどることもできます。このときは逆の確認は必要ありません。
同値変形でない場合は、除外点が存在したり、図形 の一部分のみになったりする可能性があると思います。仰るとおり、 乗は同値が崩れる代表例ですね。
除外点などがない場合はないことを言えばよいですし、ある場合はあることを言えばよいですね。これが逆の確認です。
集合と論理の分野は慣れるまで非常に時間がかかると思いますが、同値変形や必要条件、十分条件などを意識することでできるようになってきます。頑張ってください。
