解決済み

数列 誘導の利用

(1)はわかったのですが、(2)でどうやって誘導を活用するのかがわかりません。ご教授お願いします。

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(1)(1) ではa2k1=2k+14k,a2k=k+12k+1a_{2k-1}=\dfrac{2k+1}{4k},a_{2k}=\dfrac{k+1}{2k+1}となっています。


(2)(2) では、求める無限級数は、

n=1log(11(n+1)2)=log(1122)+log(1132)+=log(1122)(1132)\begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}\log\biggl(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\biggr) \\&=\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)+\log\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)+\cdots \\&=\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)\cdots\end{aligned}

となります。


ここで、limka2k1=limka2k=12    limnan=12\lim_{k \to \infty}a_{2k-1}=\lim_{k \to \infty}a_{2k}=\dfrac{1}{2} \iff \lim_{n \to \infty}a_n=\dfrac{1}{2}

であり、関数 logx\log x は定義域 x>0x>0 で連続であるから、

log(1122)(1132)=loglimnan=log12=log2\begin{aligned}&\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)\cdots =\log \lim_{n \to \infty}a_n \\&=\log\dfrac{1}{2}=-\log2\end{aligned}

となります。


よって、

n=1log(11(n+1)2)=log2\sum_{n=1}^{\infty}\log\biggl(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\biggr)=-\log2

が得られます。

返信(1件)

一般項は偶数、奇数に分けずに

an=n+22(n+1)a_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}

で表せると思います。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

お2人方、解答ありがとうございました。大変助かりました🙏

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