数列 誘導の利用

$(1)$ では$$a_{2k-1}=\dfrac{2k+1}{4k},a_{2k}=\dfrac{k+1}{2k+1}$$となっています。

$(2)$ では、求める無限級数は、

$$\begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}\log\biggl(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\biggr) \\&=\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)+\log\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)+\cdots \\&=\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)\cdots\end{aligned}$$

となります。

ここで、$$\lim_{k \to \infty}a_{2k-1}=\lim_{k \to \infty}a_{2k}=\dfrac{1}{2} \iff \lim_{n \to \infty}a_n=\dfrac{1}{2}$$

であり、関数 $\log x$ は定義域 $x>0$ で連続であるから、

$$\begin{aligned}&\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)\cdots =\log \lim_{n \to \infty}a_n \\&=\log\dfrac{1}{2}=-\log2\end{aligned}$$

となります。

よって、

$$\sum_{n=1}^{\infty}\log\biggl(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\biggr)=-\log2$$

が得られます。