解決済み @emptyspace 2023/6/5 19:55 1 回答 数列 誘導の利用(1)はわかったのですが、(2)でどうやって誘導を活用するのかがわかりません。ご教授お願いします。 高校生数学数学Ⅱ・B高校生数学数学Ⅲ ベストアンサー @sHlcNRe46 2023/6/6 0:10 (1)(1)(1) ではa2k−1=2k+14k,a2k=k+12k+1a_{2k-1}=\dfrac{2k+1}{4k},a_{2k}=\dfrac{k+1}{2k+1}a2k−1=4k2k+1,a2k=2k+1k+1となっています。(2)(2)(2) では、求める無限級数は、∑n=1∞log(1−1(n+1)2)=log(1−122)+log(1−132)+⋯=log(1−122)(1−132)⋯\begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}\log\biggl(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\biggr) \\&=\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)+\log\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)+\cdots \\&=\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)\cdots\end{aligned}n=1∑∞log(1−(n+1)21)=log(1−221)+log(1−321)+⋯=log(1−221)(1−321)⋯となります。ここで、limk→∞a2k−1=limk→∞a2k=12 ⟺ limn→∞an=12\lim_{k \to \infty}a_{2k-1}=\lim_{k \to \infty}a_{2k}=\dfrac{1}{2} \iff \lim_{n \to \infty}a_n=\dfrac{1}{2}k→∞lima2k−1=k→∞lima2k=21⟺n→∞liman=21であり、関数 logx\log xlogx は定義域 x>0x>0x>0 で連続であるから、log(1−122)(1−132)⋯=loglimn→∞an=log12=−log2\begin{aligned}&\log\biggl(1-\dfrac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1-\dfrac{1}{3^2}\biggr)\cdots =\log \lim_{n \to \infty}a_n \\&=\log\dfrac{1}{2}=-\log2\end{aligned}log(1−221)(1−321)⋯=logn→∞liman=log21=−log2となります。よって、∑n=1∞log(1−1(n+1)2)=−log2\sum_{n=1}^{\infty}\log\biggl(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\biggr)=-\log2n=1∑∞log(1−(n+1)21)=−log2が得られます。 返信(1件) @MusicAgo 2023/6/6 10:15 一般項は偶数、奇数に分けずにan=n+22(n+1)a_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}an=2(n+1)n+2で表せると思います。 質問者からのお礼コメント お2人方、解答ありがとうございました。大変助かりました🙏 シェアしよう! そのほかの回答(0件)
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