マーカー部分の式変形がわかりません💦

(1)

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{ e^x - 1 }{x}=\lim_{x \to 0} \dfrac{ e^x - e^0 }{x}=1$$

これは$x^0=1$であることを使っています$（x\neq 0）$

で、一つ目の式は前に示したように１であるのは自明です。

（参考：https://manabitimes.jp/qa/1940）

(2）

$$\lim_{x \to a} \dfrac{\sin x-\sin a}{x-a}=\lim_{x \to a} \dfrac{2\cos (\frac{a+x}{2})\sin(\frac{x-a}{2})}{x-a}=\lim_{x \to a} \cos (\frac{a+x}{2})\dfrac{\sin(\frac{x-a}{2})}{\frac{x-a}{2}}=\cos a$$

まず、最初の式変形では和積公式を使って変形し、

次に、部分的に$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$の形を目指しています。ただし形が違うように見えますが、関数の変数が0に近づくという点は変わりません。

あとは、本能どおりに。

(3)

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\log (x+1)}{x}=\lim_{x \to 0} \dfrac{\log (x+1)-\log (0+1)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \log (1+x)=\lim_{x \to 0} \log (1+x)^\frac{1}{x}=\log e=1$$

まず$\log 1=0$であるため二つ目の式は成り立つ。

二つ目の式から１を導き出すのは遠回りなので三つ目以降はい一つ目から変形している。最後の$\log e=1$は定義より自明。

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x-\tan 0}{x-0}=\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{\cos x}=1$$

まず$\tan 0=1$より二つ目の式は成り立つ。

ひとつ前と同様に1から３以降を導いている。

残りは当たり前であると思うので省略。（$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$の形）