(１)の分母の10！という部分がなぜそうなるのか分かりません

この問題文では, 同じ文字を区別するかどうかは決定できません。10個の並べ方を $\dfrac{10!}{2!3!}$ と計算する（OとAを区別しない）のであれば, 分子もOとAを区別しないときの場合の数にすることで同じ確率が求まります。$7!$ はT, H, K, U, A, Aを並べるので $\dfrac{7!}{2!}$, ${}_8\mathrm{P}_3$ はただ単に3箇所を選べばよいので ${}_8\mathrm{C}_3$ と置き換えると

$\dfrac{\dfrac{7!}{2!}\cdot{}_8\mathrm{C}_3}{\dfrac{10!}{2!3!}}=\dfrac{7!\cdot{}_8\mathrm{P}_3}{10!}=\dfrac{7}{15}$

と求まって同じ結果になります。要するに, 区別するならする, しないならしないで矛盾がないようにすればよいということです。