| z - 1 | = 2 | z - i |

アポロニウスの円を用いた解法

幾何的な意味を考えればｚは点１からの距離と点$i$からの距離の比が2:1の点。

点１と点$i$を2:1に内分する点は $z = \frac{1+2i}{3}$ 、外分する点は $z = -1+2i$、よってこの２点を直径の両端とするアポロニウスの円がｚの軌跡。

すなわち円の中心は$z= \frac{\frac{1+2i}{3}+(-1+2i)}{2} = \frac{-1+4i}{3}$

円の半径は $\sqrt{(-1-(-\frac{1}{3}))^2+(2-\frac{4}{3})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

方程式から計算して求める方法

複素数の問題は二乗して絶対値や共役の性質を使えるようにすれば解けることが多い(今回の問題なら教科書や青チャートに類似問題があるはずなのでそれを参考にする)。

両辺を2乗して $|z-1|^2=4|z-i|^2$

$(z-1)(\overline{z-1})=4(z-i)(\overline{z-i})$

$|z|^2-z-\overline{z}+1=4\{|z|^2-\overline{z}i+zi+1\}$

$|z|^2-\frac{-1+4i}{3}\overline{z}-\frac{-1-4i}{3}z+1=0$

$(z-\frac{-1+4i}{3})(\overline{z-\frac{-1+4i}{3}})=(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2$

$|z-\frac{-1+4i}{3}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

すなわち円の中心は$z= \frac{-1+4i}{3}$

円の半径は $\frac{2\sqrt{2}}{3}$