この解き方は間違っていますか。

いいと思います。が、2点間の1点持ってくるよりは関数全体の大小比較のほうがいいかと。

$\log x=t$とおけば、$f(t)=t^2,g(t)=2t$

$f-g=t^2-2t$より、

$0\leq t\leq2$で$f-g\leq0$

$t\leq0,2\leq t$で$f-g\geq0$

となる。よって2曲線で囲まれた面積は(以下略)