この問題の解き方を教えてください

$\green{※緑色は解くときの発想です。解答には書きません。}$

$(1)$ $\int \frac{1}{xlogx}dx$を求めよ

$\green{\log{x}に関する積分は基本的に部分積分と置換積分を使用して計算します。\\今回の場合はt=\log{x}と置いて、置換積分を実行します。}$

$t=\logx$とおくと、$dt= \frac{1}{x}dx$より、

$$\int \frac{1}{xlogx}dx \\[5pt] =\int\frac{1}{xt}\frac{dx}{dt}dt \\[5pt]=\int\frac{1}{t}dt\\[5pt]=log|t|+C(Cは積分定数)\\[5pt]=log|logx|+C \space\space\square$$

$\green{\log系の不定積分は結果を暗記して損はないと思います(もちろん過程はしっかり)。}$

$(2)$不等式$f(k+1)<\int^{k+1}_{k}f(x)dx<f(k)を示せ(k>2)。$

$$\green{横に長くなっています。スライドして見てください。}\\[5pt]f(k+1)<\int^{k+1}_{k}f(x)dx<f(k)\red{を示す}(k>2)\\\green{この三文字がないと、既に成立していることになってしまいます。下手すると0点です。}\\[10pt]k+1\geq x \geq kにおいて、常に、\\[10pt]f(k+1)\leq f(x)\leq f(k)\\[10pt]\frac{1}{(k+1)\log(k+1)} \leq \frac{1}{x\log{x}} \leq \frac{1}{k\log{k}}\\[10pt]等号は、x=k,k+1以外では不成立。\green{邪魔な等号を消す}\\[10pt]\therefore \int^{k+1}_{k}\left(\frac{1}{(k+1)\log(k+1)}\right)dx < \int^{k+1}_{k}\left(\frac{1}{x\log{x}}\right)dx < \int^{k+1}_{k}\left(\frac{1}{k\log{k}}\right)dx\green{xが積分変数なのでkは定数扱い}\\[10pt]\therefore \left[\left(\frac{1}{(k+1)\log(k+1)}\right)x\right]^{k+1}_{k} < \int^{k+1}_{k}f(x)dx < \left[\left(\frac{1}{k\log(k)}\right)x\right]^{k+1}_{k}\\[10pt]\therefore \frac{1}{(k+1)\log(k+1)} < \int^{k+1}_{k}f(x)dx < \frac{1}{k\log{k}}\\[10pt]よってf(k+1)<\int^{k+1}_{k}f(x)dx<f(k)が示せた。$$

括弧がついてるのはここまでですが、$(3)$はいいのでしょうか？必要あれば返信ください。