点電荷の重要性質｜クーロン力とポテンシャル

更新 2022/02/09

この記事では点電荷の性質について解説します。点電荷の重要な性質として，「点電荷のつくる磁場」，「点電荷のポテンシャル」などがあります。これらを完璧に抑えることが，まず電磁気学を学ぶ上で大切なことになります。

点電荷とは

点電荷とは，簡単にいうと電荷 $q$ を持った質点です。ここでの電荷の大きさ $q$ は，電気素量 $e\simeq 1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ の整数倍であることが知られています。
基本的には，以下の記事で紹介されているような一般的な性質に従います。
電荷と電気量保存の法則

点電荷は電磁気学において最も基本的な対象なので，あいまいさなくしっかりと性質を抑えておく必要があります。

(発展)点電荷の数学的な表示

点電荷の作る電場も電磁気学の基本方程式である，Maxwell方程式にしたがいます。それを計算するには，「点電荷とはなんなのか」ということを数学的に表す必要があります。点電荷とはすなわち，「ある一点で電荷が $q$ であり，その他の場所では0という電荷分布を与えるもの」ということになります。

このようなことを考えると，位置 $\boldsymbol r$ にある点電荷 $q(\boldsymbol r)$ の電荷分布 $\rho(\boldsymbol r)$ は以下で与えられます。

点電荷の電荷分布

$\rho(\boldsymbol r)=q\delta^3(\boldsymbol r-\boldsymbol r')$

ここで $\delta^3(\boldsymbol r-\boldsymbol r')$ という見慣れない記号が出てきましたが，これは

ディラックのデルタ関数（一次元）

実数 $x$ に対して， $\begin{cases} \delta (x) = \begin{cases} 0 & (x \neq 0)\\ \infty & (x = 0) \end{cases}\\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1 \end{cases}$ という性質をもつ関数 $\delta (x)$ をデルタ関数という。

を3次元に拡張したものです。(なので形式的に3乗の記号を書いています。)

デルタ関数についてもっと知りたい方は，以下の記事をご覧ください。
ディラックのデルタ関数
 デルタ関数でポアソン方程式の特殊解・境界条件下の解の一意性を導出

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点電荷のつくる電場・クーロン力

以下では点電荷のつくる電場の公式を導出していきます。導出には，Maxwell方程式の一つである，Gaussの法則を用います。
Gaussの法則(積分形)
∫SE⋅ndS=1ε0∫VρdV
\int_S\boldsymbol E\cdot \boldsymbol n dS=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho dV
∫S​E⋅ndS=ε0​1​∫V​ρdV
ここで ε0\varepsilon_0ε0​ は真空の誘電率です。
Gaussの法則の意味を簡単に解説します。
右辺は，ある空間を適当な閉曲面で囲んだとき，その中にある全電荷の大きさの総和を取ることを表します。
左辺は，その閉曲面の表面を貫く全電場を表します。
この2つが等しくなる，というのがGaussの法則です。

以上を踏まえて，点電荷にGaussの法則を適用してみます。

閉曲面として，点電荷を中心とする，半径 rrr の球をとってみます。すると，Gaussの法則の右辺は，閉曲面の中には電荷 qqq のみがあることから，
1ε0∫VρdV=qε0
\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho dV=\dfrac{q}{\varepsilon_0}
ε0​1​∫V​ρdV=ε0​q​
となります。
左辺は，電場は球を一様等方に貫いていることから，
∫SE⋅ndS=E⋅4πr2
\int_S\boldsymbol E\cdot \boldsymbol n dS=E\cdot4\pi r^2
∫S​E⋅ndS=E⋅4πr2
となります。
E⋅4πr2=qε0
E\cdot4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}
E⋅4πr2=ε0​q​
となるので，
点電荷の周りの電場
E(r)=14πε0qr2
E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}
E(r)=4πε0​1​r2q​
がわかりました。
この表式より，電荷 QQQ の点電荷が，距離 rrr だけ離れた電荷 qqq を持つ点電荷から受けるクーロン力の大きさは
F=qE(r)=14πε0Qqr2
F=qE(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Qq}{r^2}
F=qE(r)=4πε0​1​r2Qq​
であることがわかります。
ちなみに導出でGaussの法則を用いましたが，これはMaxwell方程式という古典電磁気学の基本方程式の中の一つです。Maxwell方程式については，以下の記事で詳しく解説されています。

マクスウェル方程式

点電荷のポテンシャル(電位)

クーロン力がもとまったので，エネルギー積分を行うことで，点電荷のつくるポテンシャル(位置エネルギー)を求めることができます。
導出は以下の記事で詳しく解説されています。
電位の定義｜エネルギーとしての解釈・具体例

点電荷のつくる電位(無限遠基準)

$U(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}$

電位とは，単位電荷あたりの位置エネルギーなので，これに電荷の大きさ $Q$ をかけることで，位置エネルギーが表せます。

では，この電位をグラフに書いてみましょう。点電荷のポテンシャル点電荷の符号が正の時は，上のようなグラフになります。 $r\to0$ とすると，無限大に発散し， $r\to\pm\infty$ で0に収束します。

一方，点電荷の符号が負の時は，以下のようなグラフになります。点電荷の作る電位

点電荷の例題

例題

点電荷の例題上の図のように，正電荷 $q$ を持つ点電荷を $x$ 軸上 $a,-a$ に固定した。

(1) $x$ 軸上の座標点 $(x,0)$ の電位 $V(x)$ を $x$ の関数として求め，グラフをかけ。
(2) $x$ 軸上の $-a\leq x\leq a$ を満たすある点に，点電荷を置いた。この時，この点電荷はどのような運動をするか。

解答

(1) 電位のグラフ $-a$ にある点電荷による電位を赤で， $a$ にある点電荷の電位を青でグラフに書いた。これらを重ね合わせると，緑色のグラフになり，これが答えである。

(2) $-a\leq x\leq a$ 　における電位は，放物線のような形になっている。明かに，これは原点を中心とする周期運動を表している。

点電荷では物理量が発散します。このことは，量子力学で「くりこみ」という問題になって現れることになります。