コイルを含む交流回路

電圧の瞬時値が $$\begin{aligned} V(t) = V_0 \cos \omega t \end{aligned}$$ のような正弦波の形で与えられる交流電源を考えます。 この電源にインダクタンス $L$ のコイルをつなぎ，流れる電流を $I(t)$ とすると，キルヒホッフ則から $$\begin{aligned} 0 = V(t) - L \frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} \end{aligned}$$ が成り立ちます。 この式を $t$ について積分すると $$\begin{aligned} I(t)-I(0) &= \frac{1}{L} \int_0^t V(t')\: \text{d}{t'} \\ &= \frac{V_0}{\omega L} \sin \omega t \end{aligned}$$ となります。 式を整理すると，以下のように書けます。 $$\begin{aligned} I(t) = \frac{V_0}{\omega L} \cos\left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) + I(0) \end{aligned}$$ この式を見ると，積分定数 $I(0)$ は交流電流に混じった直流電流の成分だと理解できます。 しかし通常，直流成分は十分時間が経過すると回路の抵抗でジュール熱を出しつつ減衰してしまいます。 そこで今回は直流成分を無視して $I(0)=0$ としましょう。 結局，回路を流れる電流は $I_0 = V_0/(\omega L)$ として以下のようになることが分かりました。

更にこの式を見ると，電流の位相は電圧の位相より $\pi/2$ だけ遅れることが分かります。

このような現象は直流を考えているだけでは起きなかったものです。 位相のずれによって引き起こされる交流回路の面白い性質が，以降(と後の記事)で次々と登場します。

仮に，コイルの"瞬間的な抵抗"を考えてみましょう。 それは，電流の位相が遅れているため $$\begin{aligned} \frac{V(t)}{I(t)} = \frac{V_0}{I_0} \: \cot \omega t \end{aligned}$$ のように時間依存してしまいます。 これは取り扱いが不便そうです。

そこで，交流の実効値(実効電流,実効電圧)・インピーダンスの記事で登場したインピーダンスを使ってみることにしましょう。 インピーダンスは以下の式で定義されていたのでした。 $$\begin{aligned} Z = \frac{V_0}{I_0} \end{aligned}$$ 今回用いていた式を代入すると，以下のようになります。

これは，インピーダンスの定義から実効的な抵抗を表している上に，時間依存しない定数なので，とても便利な量になっています。

インピーダンスが周波数 $\omega$ に比例していることにも注意しましょう。 このような性質が交流回路を面白くします。

抵抗には，電力が消費されるという重要な性質がありました。 実際に確認してみましょう。 抵抗では $$\begin{aligned} V(t) = V_0 \cos \omega t, \quad I(t) = I_0 \cos \omega t \end{aligned}$$ となっているので，消費電力の時間平均は次のようになります。 ここで $T$ は周期で $T=2\pi/\omega$ です。

では，上記のコイルではどうでしょうか。 コイルでは電流の位相が遅れるので $$\begin{aligned} V(t) = V_0 \cos \omega t, \quad I(t) = I_0 \cos \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) \end{aligned}$$ となっているのでした。 消費電力の時間平均を計算してみると，次のようになります。 つまり電流の位相が $\pi/2$ だけ遅れるせいで，コイルでは全く電力が消費されないのです！

なお，このように電力消費が無い場合のインピーダンスは，リアクタンスとも呼ばれます。