数学の問題を作ってみたので解いてみてください

二項定理より

$$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n a_k &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^{n-k}\theta(i\sin\theta)^{k} \\&= (\cos \theta + i\sin \theta)^n,\\\sum_{k=0}^n (-1)^ka_k &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^{n-k}\theta(-i\sin\theta)^{k} \\&= (\cos \theta - i\sin \theta)^n\end{aligned}$$（ただし $\binom{n}{k}$ は二項係数）で、

$$\begin{aligned}\left(\sum_{k=0}^n a_k\right) \left(\sum_{k=0}^n (-1)^ka_k\right) &= (\cos \theta + i\sin \theta)^n(\cos \theta - i\sin \theta)^n \\&= \left((\cos \theta + i\sin \theta)(\cos \theta - i\sin \theta)\right)^n \\&= (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^n \\&= 1\end{aligned}$$

でよいですね。

複素数平面的な議論をしなくていいのは惜しい気もしますが、問題文に幾何的な言葉を入れずに複素数平面的な議論をさせるのは難しいかもしれません。

問題文の書き方ですが、$n,k$ に対して数列が1つ定まっているような印象を受けるので

「$n$ を $0$ 以上の整数とする。

$0$ 以上 $n$ 以下の整数 $k$ に対し、複素数 $a_k$ を $$a_k = \binom{n}{k}\cos^{n-k}\theta(i\sin\theta)^{k}$$ により定めると

$$\left(\sum_{k=0}^n a_k\right)^{-1} = \left(\sum_{k=0}^n (-1)^ka_k\right)$$

が成り立つことを示せ。」

などとするとよいと思いました。