ハイポサイクロイドは

原点を $O$，小円の中心を $B$，デルトイドを描く小円上の点を $P$ とします。このとき $3$ 角形 $OBP$ の辺 $OB, BP$ の長さ，およびその間の角度は次のとおりになっています。

$$OB = 2, \quad BP = 1, \quad \angle OBP = \pi - 3t$$

径 $OP$ の長さを $r$，偏角の大きさを $\theta$ とします。

辺 $OP, BP$ に対して余弦定理を使うと，

$$\begin{aligned}& \left\{ \begin{aligned} OP^2 &= OB^2 + BP^2 - 2OB\cdot BP \cos(\angle OBP) \\ BP^2 &= OB^2 + OP^2 - 2OB\cdot OP \cos(\angle BOP) \end{aligned} \right.\\&\quad\iff \left\{ \begin{aligned} r^2 &= 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\pi - 3t) \\ 1^2 &= 2^2 + r^2 - 2 \cdot 2 r \cos(t - \theta) \end{aligned} \right.\\&\quad\iff \left\{ \begin{aligned} t &= \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{r^2 - 5}{4}\right) \\ t &= \theta + \arccos\left(\frac{r^2 + 3}{4r}\right) \end{aligned} \right.\\&\quad\iff \theta = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{r^2 - 5}{4}\right) - \arccos\left(\frac{r^2 + 3}{4r}\right)。\end{aligned}$$

これで極座標表示はできましたが，さらに両辺に $3$ を乗じ，$\cos$ を適用し，加法定理を使って右辺を整理すると，

$$\begin{aligned}& \cos(3\theta) \\&\quad= \cos\left(\arccos\left(\frac{r^2 - 5}{4}\right) - 3\arccos\left(\frac{r^2 + 3}{4r}\right)\right) \\&\quad= \frac{r^4 + 18r^2 - 27}{8r^3}\end{aligned}$$

となり，より簡潔な表示を得ます。