$$\sqrt{a^2-x^2}$$(aは実数の定数)

おそらく積分区間は $0$ から $1$ ではなく $0$ から $a$ の間違い(あるいは $a\geqq1$ の条件があるか)だと思いますが、すべての $x$ を $x=a\sin\theta$ と置換して表すことはできません。

この置換でうまくいく理由は以下のとおりです。

$y=\sqrt{a^2-x^2}$ とすると、$x^2+y^2=a^2 \text{ , } y\geqq 0$ となります。

これは、中心が原点、半径が $a$ の円の $y \geqq 0$ の部分、つまり半円です。

したがって、$x=a\sin\theta$ と置換すると、$\theta$ を媒介変数とした円の方程式のように $y$ を表すことができ、綺麗な形になるということです。

(媒介変数表示は $x=a\cos\theta$ とするが、置換積分の場合は $x=a\sin\theta$ と置換したほうが良い)

この半円のうち、$0 \leqq x \leqq a$ の範囲の面積は $\dfrac{\pi a^2}{4}$ なので、

$$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ dx = \dfrac{\pi a^2}{4}$$

と置換せずに求めることもできます。