$$第　5　問$$

(1)

辺 $QR$ が点 $X = (\cos t, \sin t)$ で $C$ と接するときの $P,Q$ の座標を

$$P(t) = (P_x(t), P_y(t)), \quad Q(t) = (Q_x(t),Q_y(t))$$

と書く．$Q$ が $X$ での接線上にあること，$\triangle QOX$ の面積が $t/2$ であることから，

$$\begin{cases} Q_y = \sin t - (\cos t/\sin t) (Q_x - \cos t) \\ Q_x \sin t - Q_y \cos t = t\end{cases}$$

これを解いて，

$$Q(t) = (\cos t + t \sin t, \sin t - t \cos t)．$$

$P(t) = Q(t) + (\cos t, \sin t)$ から，

$$P(t) = (2\cos t + t \sin t, 2\sin t - t \cos t)．$$

$t = k\pi/2\ (k = 0,1,2,3,4)$ あたりを代入してプロットすると曲線の概形が得られる．

(2)

曲線 $P(t)$ の孤長は

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{dP_x^2 + dP_y^2}．$$

これへ

$$dP_x = (-\sin t + t \cos t)dt, \quad dP_y = (\cos t + t \sin t)dt$$

を代入して，

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + t^2} dt．$$

$u \equiv \sqrt{1 + t^2}$ と置くと $u^2 - t^2 \equiv 1$ で，$(u,t)$ は $ut$ 平面の双曲線上にあるから，

$$u(v) = \frac{e^v + e^{-v}}{2}, \quad t(v) = \frac{e^v - e^{-v}}{2}$$

と媒介変数表示できる．これで変数変換して，

$$L= \int_{v_0}^{v_1} u\frac{dt}{dv} dv= \int_{v_0}^{v_1} u^2 dv= \left[\frac{e^{2v} - e^{-2v}}{8} + \frac{1}{2}v\right]_{v_0}^{v_1}．$$

ただし $v_0,v_1$ は

$$0 = t(v_0) = \frac{e^{v_0} - e^{-v_0}}{2}, \quad 2\pi = t(v_1) = \frac{e^{v_1} - e^{-v_1}}{2}$$

から決まる定数である．

$$\begin{gather*} v_0 = 0, \quad v_1 = \log(2\pi + \sqrt{1 + 4\pi^2}) \\ e^{2v_1} - e^{-2v_1} = 2 t(v_1) \cdot 2 u(v_1)= 4 t(v_1) \sqrt{1 + t(v_1)^2}= 8\pi\sqrt{1 + 4\pi^2}\end{gather*}$$

を代入すると

$$L = \pi\sqrt{1 + 4\pi^2} + \frac{1}{2} \log(2\pi + \sqrt{1 + 4\pi^2})$$

が得られる．