こうなる理由をお願いします

分子について、式変形を書いていきます。

$(\sqrt{2}-1)\{(\sqrt{2}+1)^{n}-1\}$

$=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}(\sqrt{2}+1)^n-\sqrt{2}+1$

(2式目から3式目への変形で、$\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$を使っています)

$=(\sqrt{2}+1)^{n-1}-\sqrt{2}+1$

これで写真の式の分子と一致します。