こんにちは。積分なんですが

お久しぶりです　今日も積分を解いていきます

ルートで煩雑な場合には全体を置換することがいい時があります、今回がその例になりますね

$$\int (\sqrt{x+2}+\sqrt{x})^{\pi} dx$$

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x}=t…①$と置いて、

$$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{t}{2\sqrt{x}\sqrt{x+2}}$$

これで一番厄介なのは$\sqrt{x}\sqrt{x+2}$なので、急ですが$\dfrac{1}{t}$を考え、

$$\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{2}…②$$

よって、①と②から

$$\dfrac{1}{t}=\dfrac{t-2\sqrt{x}}{2},　\dfrac{1}{t}=\dfrac{2\sqrt{x+2}-t}{2}$$

これで、$\sqrt{x}\sqrt{x+2}=\left(\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{t}\right)\left(\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{1}{t^2}$

さあ、準備は整いましたので、

$$dx=\dfrac{2}{t}\left( \dfrac{t^2}{4}-\dfrac{1}{t^2} \right) dt=\dfrac{t^4-4}{2t^3} dt$$

$$(与式)=\dfrac{1}{2}\int t^{\pi-3}(t^4-4) dt=\dfrac{1}{2}\int \left(t^{\pi+1}-4t^{\pi-3} \right)dt$$

$$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\pi+2} t^{\pi+2}-\dfrac{4}{\pi-2} t^{\pi-2}\right)+C$$

したがって、

$$∴ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\pi+2} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x})^{\pi+2}-\dfrac{4}{\pi-2} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x})^{\pi-2}\right)+C$$

$(C:積分定数)$

きょうのは置換に手間取りました…(笑)