答えできるだけ早くお願いいたします

正方形の頂点を $xy$ 平面の $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ の位置にとる。光線と正方形の衝突点の $1$ つを $P_0$ とし，$P_0$ を発してから $n$ 番目の衝突点を $P_n$ とする。その $x$ 成分を $x_0, x_1, x_2, \cdots$ とする。ただし $P_0$ は，$x_0 \neq 0,1$ かつ $x_0 < x_1$ を満たすようにとる。

　記号 $\{\alpha\}$ は実数 $\alpha$ の小数部分をあらわすものとする。$a \approx 1.4 > 1$ に注意すると，任意の $x_n \neq 0,1$ に対して，

$$x_n = \begin{cases} \{x_0 + na^{-1}\} & (x_n < x_{n + 1}) \\ 1 - \{x_0 + na^{-1}\} & (x_n > x_{n + 1})\end{cases}$$

もし点 $O$ から発した光線がふたたび $O$ を通るとしたら，光線は周期的な経路をたどるから，ある $m > 0$ に対して $x_0 = x_m$ となる。したがって，

$$\begin{aligned} x_0 = \{x_0 + ma^{-1}\} \iff ma^{-1}\ は整数\end{aligned}$$

ところが，$ma^{-1}$ は無理数であるからこれは矛盾である。■

光線が正方形の頂点にぶつかる場合については，問題文をうまく読みとれなかったため考慮していません。写真をみた感じ，光線の傾きがその絶対値を変えずに符号だけを変えているように見えるのですが，その場合あきらかに $O$ を二度通るように思います。こちらが何か読み違いしているかも知れません。