∴とi.e.と〈=〉の使い方の違いを教えてください できれば例文もお願いします

$\therefore$は「よって～」など前を受けて後ろに続く

i.e.は「すなわち」、言い換え等を意味する。

$\Longleftrightarrow$は同値を意味する。

例

$\therefore$

計算結果などに使う

$$\begin{align*}(x+1)^2&=2\\\therefore\ x&=-1\pm\sqrt{2}\end{align*}$$

i.e.

使わないので微妙なんですが

$$a\in A\cap B\ ,\text{i.e.}, \ a\in A \text{かつ}a\in B$$

とかになるのかなぁと。

$\Longleftrightarrow$

式の同値変形などに使う。

後ろから前が成り立たないときは$\Longrightarrow$を使うこと。

$$y=|x|\ \Longleftrightarrow\begin{cases}y=\phantom{-}x \ (x\geqq0)\\y=-x \ (x\lt0)\end{cases}$$

とかです