数列$\large\purple{a_{n}}$が等差数列の時、数列$\large\purple{a_{2n}}$も等差数列であることを示す問題にぶつかってしまいました。どう解くのが正解ですか。解説ないので分かりません！教えてくださいお願いします。

直感的にはすぐに分かりますね

例えば3ずつ増えていく等差数列において、項を1つ飛ばしで見れば6ずつ増えていく等差数列となります

数列の問題では、一般項が大きなヒントとなります。本問では$a_{n}$が等差数列と与えられているので、

$a_{n}=a+(n−1)d$

と表せます。$a$は初項、$d$は公差です。ここで、$a_{2n}$は上式の$n$を$2n$に変えればいいだけなので、

$a_{2n}=a+(2n−1)d=a+d+(n−1)\bullet 2d$

従って、$a_{2n}$は初項$a+d$, 公差$2d$の等差数列となることが示されました

上の式変形は、初項+$(n−1)$×公差の形を作ろうとしているだけです。閃きは必要ありません