学年末テストについてわからないことがあります。三角関数の問題なんですけど僕の解答ではなぜ正しい $a$ の値の範囲が出ないのでしょうか？

写真のような解答の手順は途中まではOKだと思います。

正しい答えにたどり着けない理由は，判別式を用いた部分にあるでしょう。

まず与式を変形し，$sin\theta=x$ とおくと

$-2x^2+x+a+1=0$

が得られます。

このとき書いてあるように，$-1\leqq x \leqq 1$に注意します。

$sin\theta$ の値が存在すればよいので，$x$ が存在すると考え判別式を用いたのでしょうが，ここで$-1\leqq x \leqq 1$が忘れられてます。

あくまで $x=sin\theta$ なので，解 $x$ は$-1\leqq x \leqq 1$にある必要があります。このことを考えると，判別式だけでは不十分なはずです。

ここまでで次の手に進めるのであれば，ご自身で計算することをお勧めします。以下では私の考え方を示します。私は，別解として挙げる「定数分離」が初めに思い浮かびました。

関数$f(x)=-2x^2+x+a+1$とすると，軸の方程式は$x=\dfrac{1}{4}$ですから，判別式の結果の範囲では，$f(\dfrac{1}{4})\geqq0$が成り立つことは分かる。

グラフの対称性から$f(-1)\leqq f(1)$であるからあとは$f(-1)=-2-1+a+1=a-2\leqq0$を解いて，$a\leqq2$

共通部分をとると解答と一致します。

別解ですが，$-2x^2+x+a+1=0$を$a=2x^2-x-1$と変形し（これを定数分離という），$y=2x^2-x-1(-1\leqq x \leqq 1)$と$y=a$（これは$x$軸平行な直線）の交点（これが解を表す）が存在する範囲を考えても同じ答えを得られます。グラフをかくときに定義域には注意します。

完璧とは言い切れませんがいかがでしょうか。お役に立てれば幸いです。