大学入試数学の問題等である文字が与えられているときに、それが変数か定数を見分けることができず困っています。変数と定数の

Question

大学入試数学の問題等である文字が与えられているときに、それが変数か定数を見分けることができず困っています。

変数と定数の違いについては、

「変数：問題を考える中で、さまざまな値をとる数」

「定数：ある数に対応しており、問題を考える中で動かない数」

というイメージを持っています。

例えば2004年の東大文系数学第2問では $x,y$ に加えて $a$ という文字が与えられており、解説等を読むとどうやら $a$ は定数として処理するのが正しいようなのですが、そのように判断できる根拠がいまいちわかりません。

問題文に「 $a$ は正の実数とする」という文言があることから、「ある特定の正の実数に対し $a$ という名前を付けましたよ」というメッセージは受け取れなくもないのですが、どうしても「変数 $a$ の定義域は $a>0$ ですよ」という風に曲解してしまいます。

「 $a$ は正の実数とする」というのは $a$ が定数だと主張する数学的な手続きだ、という風に飲み込んで慣れるしかないのでしょうか。また、こういった判断は多くの問題を解いていくうちに養われるものなのでしょうか。

変数と定数を見分ける良い方法をご存知の方、教えてくださると幸いです。

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

結論から言うと慣れるしかないのですが、意識してほしいポイントは、その文字が具体的な値に置き換えられるかどうかを考えることです。

たとえば東大文系2004の第2問で、 $a=1$ としても問題は成り立ちます。そのときの領域内での $x+y$ を求めてみるのも見通しをよくするうえで良いかもしれません(後述)。

しかし、 $x=1$ や $y=1$ とすると問題は成り立ちません。

これは、 $a$ が定数で $x,y$ が変数であるということにほかなりません。

$a=1$ でも $a=-\dfrac{5}{2}$ でも $a=\sqrt{3}$ でも問題は成り立ちますし、それらの正の実数をすべてまとめた定数 $a$ に対しての領域内での $x+y$ の最大値・最小値を、 $a$ を用いて表せというのがこの問題の意味です。

少し話は逸れますが、大学入試の数学、特に東大のような難関大の数学で得点を取ろうとするのであれば、問題を解くプロセスを心得ておく必要があります。

そのプロセスとは大まかに言うと、「問題文の理解→解答の計画→解答の実行→検討」です。

その問題文の理解では、特徴的あるいは簡単であるような具体的な値で実験することが重要になってくることが少なくありません(先ほどの $a=1$ のような感じで)。

数学の難問に出会ったとき、まずは実験することを意識されてみてはいかがでしょうか。