この問題に答えてほしいです。

$f(x)=log_x 2　とする。$

$y=f(f(f(x)))　について、$

(1)定義域を述べよ。

(2)y=2のときのxの値を求めよ。

回答 1件

ベストアンサー

skipmomo 2023/6/19

$(1)$

$対数の底aは、0<aかつa\neq1を満たすことより、$

$y=f(f(f(x)))の定義域は1<x<\sqrt2または\sqrt2<x<2である。$

$(2)$

$y=f(f(f(x)))は単調減少であり、$

$\lim_{x→1+0}=0、\lim_{x→\sqrt2-0}=-∞、\lim_{x→\sqrt2+0}=∞、\lim_{x→2-0}=0$

であるから、

$y=f(f(f(x)))の値域はy\neq0である。$

ここで、 $f(f(f(x)))=2を同値変形すると、$

$f(f(f(x)))=2$

$\Leftrightarrow f(f(x))=\sqrt2$

$\Leftrightarrow f(x)=\sqrt[\sqrt2]2$

$\Leftrightarrow x=2^{2^{\frac{-1}{\sqrt2}}}$

$よって、求めるxの値は2^{2^{\frac{-1}{\sqrt2}}}である。$

skipmomo 2023/6/19

$(2)の答えである2^{2^{\frac{-1}{\sqrt2}}}は$ 2^{2^{\frac{-1}{\sqrt2}}}であります。
skipmomo 2023/6/19

$(2)の過程で、なにの極限なのかを書き忘れていますが、f(f(f(x)))の極限であります。$
mgiz 2023/6/19

解いていただいてありがとうございます！
おそらく正解だと思います（私が作った問題なので）
ちなみに、(2)で出たこの値は有理数でしょうか。それとも無理数でしょうか。
なんとなく無理数っぽい見た目をしていますが、証明ができなくて困っています。
もしお時間があれば、このことについても教えていただけると幸いです。