この問題の難易度知りたいです。ABCD評価(Aが1番簡単)でお願いします。

この問題見た時にすごく問われていることが抽象的で先が見えないままだったんですけど、この問題を見た時にどう捉えるとよいですか？問題文の意味はわかります。が、不等式なんか与えれても、、、って思ってしまいます。

与えられた不等式から

$$tag{1}x_k\lt\dfrac{x_{k-1}+x_{k+1}}{2}$$

が成り立ちます。

そこで、ある$x_i\ (2\leq x_i\leq n-1)$が最小値である$m$をとるとします。

式(1)から

$$m=x_i\lt\dfrac{x_{i-1}+x_{i+1}}{2}$$

です。

このとき、$x_{i\pm1}\neq m$であれば式(1)は当然満たします。

$x_{i-1}=m$であると仮定すると、式(1)から

$$\begin{align*}m&\lt\dfrac{m+x_{i+1}}{2}\\x_{i+1}&\gt m\end{align*}$$

が成り立ちます。$x_{i+1}=m$の場合も同様です。

つまり、最小値$m$を取る$x_{i}$を考えたとき、$x_{i\pm1}$の少なくとも片方は最小値$m$ではありません。

(続く)

さて、この$x_i$について進めていきます。

$x_{i-1}=m+y_1(y_1\geq0)$とおきます。

$x_{i-2},x_{i-1},x_i$の3つではどうなるでしょうか。

式(1)から

$$\begin{align*}x_{i-1}&\lt\dfrac{x_{i-2}+x_i}{2}\\x_{i-2}&\gt2(m+y_1)-m\\&=m+2y_1\end{align*}$$

ですから、$x_{i-2}\gt m$です。$x_{i-2}=m+y_2(y_2\gt0)$と書けます。

後は番号をどんどん下げて同じように計算すれば、どこにも$m$となる$x_j$は存在しないことが分かります。

逆に、番号をどんどん増やしていっても同じです。$m$を取ることが出来るのはせいぜい$x_{i+1}$だけです。

どうですか？証明できそうですか？

解答についての質問ではないので、今回は方針だけにしておきます。

すんごい解法ですね。思わず笑ってしまいましたが、参考書の解答よりかはこっちの方が考え方が段階的で好きです。この解法作っている時は、「ここをこうすればこうならないとおかしいよな」みたいにして考えてるんですか？

帰納法使うか、と思ってとりあえず$n=3$で試したんですよ。

で、最小値となる$x_i$決めれば番号減らす(増やす)操作繰り返せばよくない？ってなって、こうなりました。

やっぱり実験は大切ですよね。ありがとうございます。